Re: [其他] 複變分析
: 此題為何要觀察Im(z^2+1)>0
: 又為何x>0 y>0 G(z)可解析的
: 麻煩大大解惑一下
: 感恩
這題單純考你合成函數定義域而已
為了方便我定義 L:= {x：x>= 0} 即正x軸聯集原點
已知g：C\L → C 是解析函數
而f(z):= z^2+1：C → C 也是解析函數
但是題目要問合成函數G(z) = g(z^2+1) = g(f(z))
要讓他well defined必須要f的值域在g的定義域裡
因此G的定義域必須是C扣掉那些使得f(z)€L的z點
經由計算 f(z)€L <=> z€{x€R} U {iy：y€[-1,1]} := S (x軸跟這小段y軸定義成S)
因此G其實可以在C\S上是解析函數，比題目問的第一象限還大
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以圖示來說C\S就是複數平面扣掉那兩條紅色線
至於G在C\S上可解析就完全是chain rule的結果
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