Re: [中學] 正整數平方和的倍數問題
※ 引述《mj813 (薩坨十二惡皆空)》之銘言：
: 有請各位大大解惑：
: 若 1^2 + 2^2 + 3^2 +．．．+ n^2
: 是 400 的倍數。
: 則正整數 n 的最小值為？
所以 400|n(n+1)(2n+1)/6
2400|n(n+1)(2n+1)
2400 = 2^5 * 3 * 5^2
由於 n, n+1, 2n+1 中只會有至多一個 5 的倍數
因此三者中有一個是 25 的倍數, 即 n 除以 25 的餘數可以是 0, 24, 12
2n+1 必是奇數, 所以 n 和 n+1 有一個是 32 的倍數, 即 n 除以 32 可餘 0 或 31
因數 3 是自動滿足的所以略去
這樣上面有兩個條件, 當中 25 和 32 互質, 所以每 800 一循環
於是列出 1~800 中除以 32 餘 0 或 31 的數:
31, 32, 63, 64, 95, 96, 127, 128, 159, 160,
191, 192, 223, 224, 255, 256, 287, 288, 319, 320,
351, 352, 383, 384, 415, 416, 447, 448, 479, 480,
511, 512, 543, 544, 575, 576, 607, 608, 639, 640,
671, 672, 703, 704, 735, 736, 767, 768, 799, 800
當中除以 25 餘 0 的是 575 和 800
除以 25 餘 24 的是 224 和 799
除以 25 餘 12 的是 512 和 287
(這可以看尾數挑數字出來試除就知道了)
所以最小正整數解是 224 #
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後面這一段求解對中學程度應該沒有更好的做法
六種狀況裡只有兩種是中學程度可以求得的, 其他得要用上中國剩餘定理
但那定理的詳細算法中學是不會教的...
在這題裡, 對 {25,32} 這組除數
定理中的兩個乘數是: 除以 25 的餘數乘以 576, 除以 32 的餘數乘以 225
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