Re: [微積] 有比較基礎的做法嗎？

看板Math作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間7年前 (2016/12/28 13:09)推噓1(1推 0噓 8→)

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※ 引述《wohtp (會喵喵叫的大叔)》之銘言： : ∞ 1 1 + bx + x^2 : ∫ dx --- log{-----------------} : 0 x 1 - bx + x^2 : 1 : = -π{ arctan[ sqrt( ----- - 1 )] - π } : b^2 : 我想到三種不同的做法，可是都需要各種複變繞pole挑branch再從無限遠 : 處兜回來什麼的。每一步都需要justification，煩死了。 : 請問板友們可以想到基礎一點的作法嗎？ --- 先確認瑕點，以確認 b 的範圍使得該瑕積分存在 (這邊可得到 b^2 < 4 , 細節請自行補完, 然後檢查一下您哪邊算錯) ∞ log[(1+bx+x^2) / (1-bx+x^2) ] ∫ ─────────────── dx 0 x ∞ 1 b x = ∫ ── * { ∫ ────── dt } dx 0 x -b 1 + xt + x^2 b ∞ 1 = ∫ ∫ ────── dx dt by Fubini's thm. -b 0 1 + xt + x^2 -1 b π 2 tan [t/√(4 - t^2)] = ∫ { ────── - ────────── } dt -b √(4 - t^2) √(4 - t^2) ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ (1) (2) -1 被積函數 (1) 很簡單, 積完結果是 2π*sin (b/2) (2) 乍看之下很複雜, 但觀察到它是奇函數，所以 ... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 60.244.123.129 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1482901773.A.351.html

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wohtp

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doom8199

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doom8199

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