Re: [其他] 證明根號2是無理數

看板Math作者Honor1984 (希望願望成真)時間7年前 (2016/12/05 00:01)推噓1(1推 0噓 8→)

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※ 引述《joshua049 (你媽超胖)》之銘言： : 小弟今天碰到一個問題 : Use strong induction to prove that √2 is irrational. : Hint: Let P(n) be the statement that √2 ≠n/b for any positive integer b. : 完全沒有頭緒@@ : 求各位大神開示~~~ P(1)，√2 ≠ 1/b 顯然成立假設P(1), P(2)... P(k)都成立 P(k + 1)的敘述為√2 ≠ (k + 1)/b for any positive integer b 現在就來證明如果(k + 1)和b可再約分，即最大公因數 > 1 => 問題退化成P(i)，某個i < k + 1 所以命題成立如果(k + 1)和b互質，2 - ((k + 1)/b)^2 = [2b^2 - (k + 1)^2]/b^2 如果相等的話，k + 1必為偶數 => (k + 1)^2必為4的倍數 => 同理b必為偶數 => b和k + 1至少有一公因數2，所以(k + 1)和b不互質，與假設矛盾所以原命題成立 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.249.180.154 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1480867286.A.AF0.html

推

joshua049

12/05 00:45, , 1^F

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kkagt

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kkagt

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