Re: [幾何] 圓錐曲線兩垂直焦弦之倒數和為定值

看板Math作者Vulpix (Sebastian)時間9年前 (2016/11/03 02:16)推噓3(3推 0噓 0→)

留言3則, 3人參與討論串2/2 (看更多)

※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言： : 證明圓錐曲線上兩焦弦若垂直，則此兩焦弦長度的倒數和為一定值。 : 我的想法是直接假設一般式，再搭配根與係數去算， : 但算到最後實在太多未知數，而且還算不太出來，不曉得有沒有好一點的方法。用極坐標做 L r = ────── 是圓錐曲線的方程式，其中 L 是半正焦弦長、ε是離心率 1-ε*cosθ 此處對「焦弦」的要求應該是：弦本身一定要通過焦點。（意思是雙曲線兩支上各一點連線延長後才通過焦點的就不算，例如貫軸。這種焦弦的長度應該算成負值較適當，但太麻煩了。）而這個要求會強迫 ε < 2^0.5。一條幅角是φ的焦弦長度，是 L_1 = r(φ) + r(φ+π)。與其垂直的焦弦長度，則是 L2 = r(φ+π/2) + r(φ+3π/2)。 2L L_1 = r(φ)+r(φ+π) = ───────── 1-(ε*cosφ)^2 2L L_2 = r(φ+π/2)+r(φ+3π/2) = ───────── 1-(ε*sinφ)^2 1 1 1-(ε*cosφ)^2 + 1-(ε*sinφ)^2 ─── + ─── = ────────────────── L_1 L_2 2L 2-ε^2 = ───── 是常數。 2L -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1478110566.A.074.html

推

Desperato

11/03 07:48, , 1^F

11/03 07:48, 1^F

推

tzhau

11/03 09:47, , 2^F

11/03 09:47, 2^F

推

wayne2011

11/03 10:14, , 3^F

11/03 10:14, 3^F