Re: [中學] 四面體垂足點
※ 引述《ntnusliver (炸蝦大叔~~)》之銘言：
: ※ 引述《shingai (shingai)》之銘言：
: : 題為
: : 有一四面體O-ABC, OA=a, OB=b, OC=c 且 OA, OB, OC 兩兩垂直
: : ，H為O在ABC上垂足點，試證明 H為三角形ABC之垂心
: : ________________________________________________________
: : 不曉得要從哪切入@@
: : 有請高手提點 !!
: 用內積(下面都是指向量)
: CH ˙AB = (CO + OH)˙AB = CO˙AB + OH˙AB= CO˙AB = CO˙(AO+OB) = 0
: 所以CH 和AB 互相垂直 同理可證其他方向 故H為三角形ABC之垂心
倘若要像
s大所說
要架座標的話
可設O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
然後再看
陳一理所編著的"空向"
當中"日試精粹"
寫到的向量關係式
-> -> -> ->
OH = [(b^2c^2)OA+(c^2a^2)OB+(a^2b^2)OC]/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)]
則可再設垂足點
H[ab^2c^2/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),bc^2a^2/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),
ca^2b^2/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)]
最後
-> ->
HC dot AB
={-ab^2c^2/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),-bc^2a^2/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2),
[c(b^2c^2+c^2a^2)/(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} dot (-a,b,0)
= 0
同理再看
陳一理所編著"平向"當中
"三高交於一點"的例題
即證"H為三角形ABC的垂心"...
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