Re: [代數] 秩為100以內的單群
※ 引述《nobrother (nono)》之銘言：
: 除了Z_p之外,只有A_5
: 書上在證明的時候
: 是用質數的不同型式來分組(如pq,p^2q...)
: 證明|G|=pqr(p,q,r為相異質數)時
: 書上只寫,p<q<r
: 則r-Sylow子群是正則子群
: 請問這是為什麼??
: 我只能推出|G|=pqr
: 利用元素個數
: 可得必有一個Sylow子群是正則子群
如果你知道什麼是特徵子群 characteristic subgroup
(1) |H|=pq, p<q primes → |Syl_q(H)|=1 (簡單)
(2) G has a normal Sylow subgroup (你已經證明了)
(2A) |Syl_r(G)|=1 完成
(2B) Syl_p(G)={P} (or Syl_q(G)={Q}, swap p and q)
Consider quotient G/P.
From (1) on G/P, Syl_r(G/P)={R'}.
Lift normal subgroup R' of G/P back to normal subgroup M of G.
From (1) on M, Syl_r(M)={R}.
So R char M, M normal in G.
So R char G (R is a Sylow r, so normal implies char). Q.E.D.
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『我思故我在』怎樣從法文變成拉丁文的：
je pense, donc je suis --- René Descartes, Discours de la Méthode (1637)
ego sum, ego existo --- ____, Meditationes de Prima Philosophia (1641)
ego cogito, ergo sum --- ____, Principia Philosophiae (1644)
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如果不用特徵子群，可以用另一種方法來證明 R 是正則。
由 Sylow II 可知其他 Sylow-r 都是 R 的共軛
但 M 是 G 的正則子群，所以這些 Sylow-r 也一定是在 M 中
而 M 只有唯一一個 r-子群 R
同理可證 |G|=p_1p_2...p_k, p_1>p_2>...>p_k primes 有正則 Sylow-p_1 子群
(也有正則p_1p_2, p_1p_2p_3, ... 子群)
※ 編輯: kerwinhui (140.112.101.8), 09/10/2016 18:06:15
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