Re: [微積] 如何證明任一可微函數的黎曼和收斂？

看板Math作者 (我大聲講嘢唔代表我冇禮)時間9年前 (2016/08/04 21:54), 9年前編輯推噓7(7推 0噓 12→)
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※ 引述《ppu12372 (高能兒)》之銘言： : 就是當切割數n趨近於無限大時黎曼上和和下和會收斂 : 還是說其實不一定收斂？ 會的，事實上連續就夠了 若 f 在閉區間 [a,b] 連續，則 f 亦為 uniformly continuous 你自己寫的話可以從這點下手。 如果要證明，網路上打個關鍵字都找的到 : 另外再問如果是連續但不可微呢？ 同上 : 不連續呢？ 可能黎曼可積也可能不可積 事實上，黎曼可積的充要條件是有界加 continuous a.e. : ----- : Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z00AD. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.85.157.139 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1470318841.A.14E.html
推
08/05 15:53, , 1F
還有不連續點有限
08/05 15:53, 1F
→
08/05 15:54, , 2F
只要不連續點有限，那就黎曼可積了
08/05 15:54, 2F
推
08/05 15:59, , 3F
不連續不必要有限, 只要 measure zero
08/05 15:59, 3F
→
08/05 16:39, , 4F
黎曼可積還是要有限吧
08/05 16:39, 4F
→
08/05 16:40, , 5F
當x為有理數，f(x)=1 當x為無理數，f(x)=0
08/05 16:40, 5F
→
08/05 16:41, , 6F
像上面這個函數在[0,1]上黎曼不可積
08/05 16:41, 6F
→
08/05 16:41, , 7F
但是Lagrange可積
08/05 16:41, 7F
推
08/05 16:46, , 8F
因為黎曼積分是用patition切割取極限
08/05 16:46, 8F
不需要有限，前文內已經說過了，充要條件是 continuous a.e. … 至少我們知道遞增函數必黎曼可積，我們可以很簡單的製造一個在 [0,1]的有理數都不連續的 f Lagrange 係筆誤？ P.S. 我發現昨天看錯錯東西，所以回的問題有點雞同鴨講，不過原PO問題的標題問黎曼和就是了… ※ 編輯: Eliphalet (61.56.12.194), 08/05/2016 18:00:11
推
08/05 19:19, , 9F
筆誤，是Lebesgue可積
08/05 19:19, 9F
→
08/05 19:21, , 10F
vata舉的函數不只無限點不連續 是根本沒有連續點(?
08/05 19:21, 10F
推
08/05 20:57, , 11F
vata 大舉的根本沒有 continuous a.e. 啊...
08/05 20:57, 11F
→
08/05 20:59, , 12F
en.wikipedia.org/wiki/Thomae%27s_function
08/05 20:59, 12F
→
08/05 20:59, , 13F
黎曼可積, 不連續點有可數無限多個
08/05 20:59, 13F
推
08/05 21:16, , 14F
一時腦袋混亂，謝謝上面一些大大的指教
08/05 21:16, 14F
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08/06 00:22, , 15F
啊啊…對要可數，感謝大大的提醒
08/06 00:22, 15F
推
08/06 21:01, , 16F
這個好像叫 Lebesgue criterion (for Riemann
08/06 21:01, 16F
→
08/06 21:01, , 17F
integrability). 照定理敘恕不一定要可數, 像
08/06 21:01, 17F
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08/06 21:01, , 18F
Cantor set 就是不可數但 measure zero. 如果有辦
08/06 21:01, 18F
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08/06 21:04, , 19F
法弄出不連續點不可數多但測度零的函數應該還是可積
08/06 21:04, 19F
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文章代碼(AID): #1NeqZv5E (Math)
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