[微積] 如何證明任一可微函數的黎曼和收斂？

看板Math作者 (高能兒)時間9年前 (2016/08/04 21:29), 9年前編輯推噓4(4推 0噓 12→)
留言16則, 2人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
就是當切割數n趨近於無限大時黎曼上和和下和會收斂 還是說其實不一定收斂？ 另外再問如果是連續但不可微呢？ 不連續呢？ ----- Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z00AD. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 117.19.113.179 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1470317352.A.78F.html
推
08/05 11:12, , 1F
你可以先討論最簡單的case, f(x)在閉區間[a,b]是正
08/05 11:12, 1F
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08/05 11:12, , 2F
的，並且連續
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08/05 11:13, , 3F
當f(x)在閉區間連續，那麼它一定有界
08/05 11:13, 3F
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08/05 11:15, , 4F
下積分會在你分割越來越細的時候形成遞增的數列
08/05 11:15, 4F
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08/05 11:16, , 5F
但是因為f(x)有界，所以你的下積分一定會收斂
08/05 11:16, 5F
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08/05 11:17, , 6F
上積分也同理可推。
08/05 11:17, 6F
我最大的問題就在於怎麼證明下和會是遞增數列呀QQ ※ 編輯: ppu12372 (101.13.160.25), 08/05/2016 11:57:48
推
08/05 12:32, , 7F
最大最小值是有限個的情況 直接分段解決就好
08/05 12:32, 7F
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08/05 12:33, , 8F
呃 不對 不用管極值 下和本來就遞增
08/05 12:33, 8F
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08/05 12:34, , 9F
你把原本的下和切的更細的時候
08/05 12:34, 9F
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08/05 12:34, , 10F
證明那些長方形不可能變小 這樣就遞增了
08/05 12:34, 10F
推
08/05 12:52, , 11F
一個函數f(x)在閉區間[a,b]是正的情況下，我們先
08/05 12:52, 11F
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08/05 12:53, , 12F
切割兩個partition[a,c1]和[c1,b]
08/05 12:53, 12F
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08/05 12:54, , 13F
接著再切割更細 [a,c2] [c2,c1] [c1,c3] [c3,b]
08/05 12:54, 13F
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08/05 12:56, , 14F
你從[a,c1]找到的最小值，一定小於[a,c2]和[c2,c1]
08/05 12:56, 14F
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08/05 12:57, , 15F
的最小值，所以從定義來看，你的下積分一定會遞增
08/05 12:57, 15F
推
08/05 13:02, , 16F
應該要說下和才對，下和最後收斂稱為下積分
08/05 13:02, 16F
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