[微積] ln(1+x)的不等式

看板Math作者zxm20243 ( )時間9年前 (2016/07/11 02:12)推噓4(4推 0噓 5→)

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[題目] 試證明對於所有x > 0 x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+x) < ln(1+x) < x - x^2/2 + x^3/3 [我的想法] 我目前可以用泰勒展開式做出右邊的不等式，利用ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+c)^3 (0 < c < x) 又(1+x)^(-3)為遞減，代入x = 0就有右邊的不等式但左邊多乘上1/(1+x)就不曉得該如何處理，有請各位大大救一下，感謝各位m(_ _)m -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.230.128.229 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1468174350.A.BE9.html

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popop1234

07/11 11:31, , 1^F

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嗯，我沒有表達很清楚，重寫一下： ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+c)^3 --- Taylor expansion, 0 < c < x < x - x^2/2 + x^3/3 * 1/(1+0)^3 --- 1/(1+t)^3 嚴格遞減，取t = 0 = x - x^2/2 + x^3/3 --- RHS ※ 編輯: zxm20243 (118.163.127.250), 07/11/2016 13:20:42

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popop1234

07/11 14:05, , 2^F

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https://goo.gl/D5fDy1 https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem #Explicit_formulas_for_the_remainder

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vata

07/11 14:47, , 3^F

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推

vata

07/11 14:50, , 4^F