[機統] 高中期望值一問

看板Math作者 (漢聲)時間9年前 (2016/06/09 23:19), 9年前編輯推噓1(1推 0噓 5→)
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題目如下: 若丟擲某銅板出現正面機率為p,0<p<1，若連續丟擲此銅板四次， 若第k次出現正面得(1/2)^k 元，否則得0元，k=1,2,3,4. 設總所得期望值=a 總所得超過1/3元機率為b，則(A)a為p的一次多項式(B)15/16<a<1 (C)b為p的二次多項式(D)p<b<p+p^2 (E)a^2<b 答案:ADE 此題我一個個算很複雜，是否有比較簡單的判斷法?是用二項分布概念嗎? 但又不知如何解?煩版上高手解惑，謝謝! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.66.95.23 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1465485584.A.0F6.html
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06/10 08:25, , 1F
用二項分布沒錯. 假設得 k 次正面, 則得
06/10 08:25, 1F
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06/10 08:27, , 2F
1/2+...+1/2^k = 1-1/2^k, 故所求為 E[1-1/2^X].
06/10 08:27, 2F
不好意思，我問題是上述的期望值如何轉變成下列式子呀，謝謝!
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06/10 08:29, , 3F
經一些代數演算得 (1-p+p/2)^n = (1-p/2)^4 (因n=4)
06/10 08:29, 3F
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06/10 08:32, , 4F
又, 機率是 P[1-1/2^X>1/3] = P[X>0] = 1-(1-p)^4.
06/10 08:32, 4F
※ 編輯: hsheng (163.27.36.21), 06/10/2016 12:43:15 ※ 編輯: hsheng (210.66.95.23), 06/10/2016 23:01:26
推
06/12 09:19, , 5F
你把它 展開之後 就知道那演算法了 變成
06/12 09:19, 5F
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06/12 09:19, , 6F
((1/2)P)^K (1-P)^4-K
06/12 09:19, 6F
※ 編輯: hsheng (163.27.36.217), 06/12/2016 11:51:13 ※ 編輯: hsheng (163.27.36.217), 06/12/2016 11:53:28
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