Re: [中學] 請問這是否有較簡易的算法
※ 引述《hau (小豪)》之銘言：
: 兩個長度為a的正四面體底面相黏(變一個六個正三角形拼成的立體圖形)
: 最遠的兩個頂點為A，E 另三個頂點為B，C，D
: AB的中點為L， BC的中點為M，CE的中點為N
: (1) 求 AE
: (2) 以平面 LMN 截此立體，問所截出之多邊形面積為多少？
: (只問第2小題)
: 解：
: (2)置於空間座標系中，看出此多邊形為四邊形，算出此四邊形頂點座標。
: 連接此四邊形任一對角線，此對角線將四邊形分成兩個三角形，
: 最後用向量的方法分別算兩三角形的面積。
: 請問有較簡易的算法嗎？
座標設好一點會比較好算
以下直接使用解答的方法算一遍:
第一題不問那裡面的計算結果就拿來用了 -- 令座標單位長為 a/√3, 各點座標為
A (0,0,√2), E (0,0,-√2)
B (-1/2,√3/2,0), C (-1/2,-√3/2,0), D (1,0,0),
則 L (-1/4,√3/4,√2/2), M (-1/2,0,0), N (-1/4,-√3/4,-√2/2)
ML 向量和 MN 向量外積可得平面法向量:
(1/4,√3/4,√2/2) x (1/4,-√3/4,-√2/2) = (0, √2/4, -√3/8)
= (1/8)*(0, 2√2, -√3)
於是平面為 2√2 y - √3z = 0 (常數項代 M 易知為 0)
A B C D E 代入平面式可知 A C 在平面同側, B E 在另一側, D 在平面上
所以全部的九個邊當中, AB, BC, CE 和平面相交 (即 L, M, N)
AC, BE 沒有交點, AD, BD, CD, DE 交平面於 D 點
也就是這四邊形為 LMND
那麼畫的那條對角線就畫 DM
它把四邊形切成兩個邊長為 3/2, 3/2, √3/2 的三角形
(LD, MD, ND 都是某面的某個高, LM, MN 都是某面的兩邊中點連線
注意到在這座標系下面邊長是 √3)
這個三角形的面積可作 √3/2 邊上的高, 此高長 √33/4, 由此得面積為 3√11/16
兩個合起來為 3√11/8
但這立體坐標的單位長是 a/√3, 所以實際面積要乘上其平方 a^2/3
得 (√11/8)a^2 為所求 #
====
會這樣令是因為題目的 L M N 的排列是個 180 度對稱
(把這立體以 DM 為軸轉 180 度可以看到 L 和 N 對調了)
所以在分配 xy 平面上的那三點時把 D 分給 (1,0,0)
也是因為這個原因, M 的座標才會是 (-1/2,0,0), 所以自然地從它出發抓向量
外積是這個做法裡唯一比較繁的計算
但同樣受惠於這個對稱其實計算量沒有想像中的大
最後切四邊形時切在 DM 同樣也是運用對稱, 這樣切出來的兩塊面積就會一樣大
總的來說, 計算只有外積和求最後的面積的部份稍微要注意一點, 其他地方都相對簡單
--
'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.195.39.85
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1464285090.A.43F.html
推
05/27 17:26, , 1F
05/27 17:26, 1F
→
05/27 22:53, , 2F
05/27 22:53, 2F
→
05/27 23:57, , 3F
05/27 23:57, 3F
這樣應該對了
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 05/28/2016 00:12:42
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：