[其他] 如何證唯一的有理數解是(0,0)以及一個二元二次方程

看板Math作者 (Again)時間9年前 (2016/03/14 22:16), 編輯推噓1(1推 0噓 18→)
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題目： (1)The only rational solution to y^2 = x^3 + x is (0,0) 本來是數學導論的東西（下面也是）， 剛剛演習課無聊拿去問微積分的助教結果奮戰了快一個小時還是證不出來... 我是先嘗試設x=p1/p2, y=q1/q2, 可是沒有結果... 或是兩邊平方去喬...也不行TT (2) Find all integer solutions to the equation 2x^2-y^2=1 後來發現這是一個negative的佩爾方程式 但我只能“給出”造無限多個解的方法（1+ sqrt 2的奇次方） 沒有辦法“證明” 可是我只是一個大一的學生，老師不會這麼狠要出那種複雜的東西吧... 不知道是不是有其他容易的方法qq 求解 感恩 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.114.123.201 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1457965018.A.DC2.html
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03/14 22:46, , 1F
1. 有有理數解就一定有整數解，所以考慮整數解就好
03/14 22:46, 1F
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03/14 22:47, , 2F
所以是 y^2 = x (x^2 + 1)
03/14 22:47, 2F
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03/14 22:48, , 3F
x 和 (x^2 + 1) 互質，所以 y^2 那邊的成對的質因
03/14 22:48, 3F
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03/14 22:49, , 4F
數都不能拆開，不是全部歸到 x 就是全部歸到 x^2+1
03/14 22:49, 4F
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03/14 22:49, , 5F
可是這樣一來， x 和 x^2 + 1 必須同時是完全平方
03/14 22:49, 5F
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03/14 22:50, , 6F
所以只有 x = 0 這個可能性
03/14 22:50, 6F
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03/14 23:24, , 7F
可是還有分數的情況要考慮...
03/14 23:24, 7F
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03/14 23:25, , 8F
這樣好像只知道整數解是0
03/14 23:25, 8F
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03/14 23:35, , 9F
把分母乘一乘不行嗎？
03/14 23:35, 9F
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03/14 23:35, , 10F
好像真的不行耶 XD
03/14 23:35, 10F
推
03/14 23:39, , 11F
這種題目 設 y=a/b x=c/d 乘開硬解即可
03/14 23:39, 11F
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03/14 23:41, , 12F
重來。設 x = p/q != 0， (p, q) 互質
03/14 23:41, 12F
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03/14 23:44, , 13F
x^3 + x = (p^3 + q^2 p)/q^3 = y^2
03/14 23:44, 13F
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03/14 23:44, , 14F
所以分母的 q 是完整平方
03/14 23:44, 14F
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03/14 23:45, , 15F
分子的 x (x^2 + q^2) 兩個因子又互質，所以兩個都
03/14 23:45, 15F
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03/14 23:45, , 16F
各是完整平方
03/14 23:45, 16F
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03/14 23:48, , 17F
Pythagorean triple的三個整數裡最多只有一個平方數
03/14 23:48, 17F
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03/14 23:49, , 18F
x 和 q 都是完整平方的話，不可能有整數解，矛盾
03/14 23:49, 18F
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03/15 10:09, , 19F
我看不太懂...你的x是不是後面都打錯
03/15 10:09, 19F
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