Re: [中學] 朋友問的數學題
※ 引述《mim5566 (爆紅56)》之銘言：
: 12857*X + 14285 *Y = 160000，請問X和Y分別為何？
: 我承認我想不出來囧
: 印象中要兩個方程式才求的出兩個未知數
: 不然只能用兜的
: 或是有其他方法呢
: 求解，感謝
首先先來看通解, 為方便起見就來求個整係數的通解
兩邊對 12857 同餘, 得 1428*Y≡5716 (mod 12857)
使用輾轉相除法求 1428 對 12857 的乘法反元素, 易求得
5141 * 1428 - 571 * 12857 = 1
故上式兩邊同乘 5141 再求餘得 Y≡7711 (mod 12857)
令 Y = 7711 代入原式可解得 X = -8555
因此通解可寫成 X = 14285t - 8555, Y = -12857t + 7711
一般解題到此結束, 以下是水晶球占卜
我覺得你朋友出個這麼大的數字想要的是漂亮整數解
但顯然這通解裡沒有 X Y 皆為正整數的解
那麼列出不同的 t 值對應的整數解來看看吧:
t X Y
-5 -79980 71996
-4 -65695 59139
-3 -51410 46282
-2 -37125 33425
-1 -22840 20568
0 -8555 7711
1 5730 -5146
2 20015 -18003
3 34300 -30860
4 48585 -43717
5 62870 -56574
中間看到了一個有點微妙的解: t = 2 時 (X, Y) = (20015, -18003)
考慮到這兩個係數乘以 7 都很接近萬的倍數
(12857 * 7 = 89999, 14285 * 7 = 99995)
由 t = 2 開始往前往後跳 7 列表如下:
t X Y
-26 -379965 341993
-19 -279970 251994
-12 -179975 161995
-5 -79980 71996
2 20015 -18003
9 120010 -108002
16 220005 -198001
23 320000 -288000
30 419995 -377999
由此, 我大膽猜測你朋友要的答案是 t = 23 的 (X, Y) = (320000, -288000)
====
其實從這組解可以看到另一些東西:
從 12857 * 320000 - 14285 * 288000 = 160000
兩邊同除以 32000 得 12857 * 10 - 14285 * 9 = 5
這個關係式其實可以從上面提到接近萬的關係數合出來:
12857 * 7 = 89999 = 90000 - 1
14285 * 7 = 99995 = 100000 - 5
前式乘以 10 減去後式乘以 9 就可以得到很小的數:
12857 * 70 - 14285 * 63 = 35
然後再約去 7 即得 12857 * 10 - 14285 * 9 = 5 了
於是這裡我再下一個大膽猜測:
你朋友是在得到 12857 * 10 - 14285 * 9 = 5 之後乘以 32000 出題的
以上, 水晶球占卜結束
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