[請益] 一題有點難的數學

看板Math作者 (Simple Power)時間9年前 (2016/02/25 16:08), 9年前編輯推噓3(3推 0噓 5→)
留言8則, 4人參與, 最新討論串1/3 (看更多)
k為任意正有理數 請問是否找得到唯一一組正整數(M,N)使得下列等式成立？ M(M+1)=k*N(N+1) 我猜測某些k可能會讓找不到(M,N)的正整數解，例如k=4 但是像k=5又可以找到至少4組解(我是寫程式把所有小於1000的M N都檢查過) 煩請數論神人們可以指點我一下解的數目跟k有什麼關係，感恩 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.188.59 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1456387717.A.00A.html
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02/25 16:43, , 1F
根據你自己所述,你不是證完了嗎?
02/25 16:43, 1F
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02/25 16:43, , 2F
k為任意正有理數,是否找得到唯一一組.....
02/25 16:43, 2F
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02/25 16:44, , 3F
當k=4找不到,當k=5會找到4組,並不唯一,
02/25 16:44, 3F
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02/25 16:44, , 4F
這些不是都是反例嗎?
02/25 16:44, 4F
恩 我想要問的應該是 這個求解的過程是否有通式，對所有的正有理數k都可以適用 像k=5的確有不唯一解，但不知道是否有無窮多解
推
02/25 18:16, , 5F
k=4 確實"找不到(M,N)的正整數解"
02/25 18:16, 5F
但是為什麼k=4的時候沒有正整數解，不知如何證明？ ※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/25/2016 21:27:39
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02/25 21:57, , 6F
代 k=4 把M解出來，然後很明顯根號開不盡啊
02/25 21:57, 6F
k=4，解M的一元二次方程式，根號裡面b^2-4ac=16N^2 + 16N + 1 要怎麼證明這個16N^2 + 16N + 1不會是某個完全平方數？(我又卡住了～救我～) ※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/25/2016 23:54:18
推
02/26 00:37, , 7F
(4N+1)^2 = 16N^2+8N+1, (4N+2)^2 = 16N^2+16N+4
02/26 00:37, 7F
這我了解了，十分感謝！ 那可以再請問如果k=5的時候 20N^2 + 20N + 1是否是無窮多個整數的平方？ ※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/26/2016 00:46:46 ※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/26/2016 00:47:06
推
02/26 11:32, , 8F
k=5時 有無限多組正整數解
02/26 11:32, 8F
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文章代碼(AID): #1MphQ50A (Math)
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