Re: [中學] 一題用三角形拼圖的題目
※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: (B)
: 用數塊邊長為 3, 5, 7 的三角形
: 拼成下列形狀，請問要怎麼拼? 最少需要幾塊?
: (1) 正六邊形
: (B)題最主要的問題是，我沒辦法證明這是「最少」塊
: 事實上(2)連拼出來都有點難度 (可以試試看XD)
: 有沒有什麼方法能找到最少塊的拼法?
: 以下反白是解答。(B)題有拼法，但是沒有最少塊的證明。
: (B) (1) 正六邊形 90塊 (不確定為最少)
: a. 先用30塊拼出120度角的菱形
: b. 再用三塊菱形拼出正六邊形
(B)(1) 我證出最少了:
3 5 7 的三角形面積為 (15/4)√3
而正六邊形的面積公式是 (3/2)√3 * a^2
因此若一共使用 N 塊, 那就有 (3/2)√3 * a^2 = (15/4)√3 * N, 或 a^2 = (5/2)N
只能有 N = 10n^2 塊, 做成邊長 5n 的正六邊形
顯然 n = 1 不可能
n = 2 時邊長為 10, 那麼所有的邊一定是切成 5+5 或 7+3
可以證明至少有一邊是 7+3 的組合, 放法一共有四種
逐一分析即可證明都不可行
(有一個很有用的事實很好用: 因為 3 5 7 三角形是 7 的對角是 120 度角
如果某個 120 度角被切開那就一定只能用兩個銳角各兩個填滿
從這裡排出去很容易就能擠到空間放不下)
n = 3 邊長為 15, 即是上面所述的排法了
因此 90 塊確實為最少
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: (2) 正三角形 1215塊 (不確定為最少)
: a. 把3, 5, 7三角形自我放大3, 5, 7倍
: 將放大3, 5倍的三角形長邊，蓋上放大7倍的三角形兩短邊
: 會得到一個側邊15的60度等腰梯形
: b. 用小塊平行四邊形加在右邊，把梯形上底加長至45
: c. 用三個上述梯形和一些小平行四邊形
: 合併成側邊和上底皆為45的等腰梯形
: d. 用三個上述梯形拼出正三角形
正三角形的部份, 如果用同樣的面積方法下去看的話
(1/4)√3 a^2 = (15/4)√3 * N, 即 a^2 = 15N, 因此 N = 15n^2, 正三角形邊長 15n
但上面的拼法邊長是 135, 相當於 n = 9 的狀況...
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'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done
one thing to make absolutely sure that every single person in this school
will read your interview, it was banning it!'
---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513
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推
02/22 09:27, , 1F
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