Re: [分析] 一個高微與圖形的問題
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 我想要證明(或找到反例)以下敘述：
: Let D = {(x,y)│x^2+y^2<=1} , S = {(x,y)│x^2+y^2=1}
: and A,B be disjoint compact subsets of D with A∩S = {(0,1)}, B∩S = {(0,-1)}
: Show that every point P in left arc is path-connected in D
: to every point Q in right arc without passing through A∪B.
: (that is, there exists continuous f：[0,1]→ D\(A∪B) with f(0)=P, f(1)=Q )
: <note>
: "left arc" means {(cosx,sinx)│ 0.5pi<x<1.5pi}
: "right arc" means {(cosx,sinx)│-0.5pi<x<0.5pi}
有一個模仿Sperner lemma的論證:
我們證明(1, 0)和(-1, 0)為path-connected
令d( , )標記距離函數.
T_1 := closed left arc = {(cosx,sinx)│ 0.5pi<x<1.5pi}
T_2 := closed right arc = {(cosx,sinx)│-0.5pi<x<0.5pi}
T_3 := closed upper arc = {(cosx,sinx)│ 0<=x<=pi}
T_4 := closed lower arc = {(cosx,sinx)│ -pi<=x<=0}
假設e>0是一個正數, 且3e <= max(d(A,B), d(T_3,B), d(A,T_4)).
令
U_1 := {points in D path-connected to (1, 0)}
U_2 := {points in D path-connected to (-1, 0)}
顯然U_1和U_2在D裡面open
(*)現在假設(1, 0)和(-1, 0)並非path-connected, 因此U_1和U_2 mutually disjoint
將D三角化, 使得每個小三角形的直徑 < e,
且(1, 0), (-1, 0), (0, 1), (0, -1)都是頂點
我們將所有頂點p著色:
如果d(p, A) <= e, p是紅色; 否則
如果d(p, B) <= e, p是黃色; 否則
如果p在U_1裡面, p是藍色; 否則
如果p在U_2裡面, p是綠色; 否則
p是黑色
根據著色規則:
(1) 沒有藍-黑邊: 假設p是藍色的那一個頂點, p在距離e以內不會有A, B的點, 因此可以
用直線連到令一個頂點, 那個頂點就不可能是黑色.
同理沒有綠-黑邊.
(2) 沒有藍-綠邊: 假設有, 那麼U_1和U_2就會相連, 這違背假設(*).
(3) 沒有紅-黃邊: 假設有, 令紅色的頂點為p, 黃色的為q, 則
d(A, B) <= d(A, p) + d(p, q) + d(q, B) < 3e
這違背3e <= d(A, B)的假設.
(4) T_1∩T_3到(0, 1)上的頂點只能是紅色或藍色:
因為d(T_3, B) >= 3e, 故不會是黃色, 且
p在U_1中, 所以不是紅色就是藍色.
同理, T_2∩T_3上的頂點只能是紅色或綠色
T_2∩T_4上的頂點只能是黃色或綠色
T_1∩T_4上的頂點只能是黃色或藍色
根據上面的(1), (2), (3)我們發現不可能有三個頂點互為異色的三角形.
因此計算紅-藍邊的數量:
2(紅-藍邊在D \ S內的數量) + (紅-藍邊在S上的數量)
= 2(紅-藍-藍三角形的數量) + 2(紅-紅-藍三角形的數量)
我們發現(紅-藍邊在S上的數量)必須是偶數
然而, 計算T_1∩T_3上紅點的數量:
2(紅點在T_1∩T_3上的數量) - ((0, 1)此點)
= (紅-藍邊在T_1∩T_3上的數量) + 2(紅-紅邊在T_1∩T_3上的數量)
我們發現(紅-藍邊在T_1∩T_3上的數量)必須是奇數.
然而, 根據上面的(4), (紅-藍邊在S上的數量)=(紅-藍邊在T_1∩T_3上的數量), 矛盾.
故一開始的假設(*)錯誤, 因此(1, 0)和(-1, 0)是path-connected.
所以left arc和right arc為path-connected.
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