Re: [微積] purdue每週問題
※ 引述《ddtddt (得)》之銘言：
: 請問
: 如果
: 0 < a_i < 1
: ∞
: 已知 sum(a_i) < ∞
: i=1
: ∞
: 試證 sum( (a_i)^(1-1/i) ) < ∞
: i=1
為了方便, 就假設a_n從第二項開始, 所以1 - 1/n >= 1/2
將{a_n}這個序列分成二個子序列, 一個是那些a_n < 1/n^4, 叫做{b_n}
剩下的是那些a_n >= 1/n^4的, 叫做{c_n}
所以
Σa_n = Σb_n + Σc_n
Σ(a_n)^(1-1/n) = Σ(b_n)^(1-1/n) + Σ(c_n)^(1-1/n)
首先, 由於
Σ(b_n)^(1-1/n) < Σ(1/n^4)^(1 - 1/n)
< Σ(1/n^4)^(1/2)
= Σ1/n^2 < ∞
剩下處理Σ(c_n)^(1-1/n)的部份.
首先觀察到 n^(4/n)是個bounded sequence (exercise), 假設它們 < M.
因此,
c_n^(1-1/n) / c_n = (1/c_n)^(1/n)
<= (n^4)^(1/n)
< M
所以
Σc_n^(1-1/n) < M Σc_n
< M Σa_n < ∞.
故
Σ(a_n)^(1-1/n) = Σ(b_n)^(1-1/n) + Σ(c_n)^(1-1/n) < ∞.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.32.33.199
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1447425495.A.535.html
※ 編輯: willydp (114.32.33.199), 11/13/2015 22:39:04
※ 編輯: willydp (114.32.33.199), 11/13/2015 22:39:29
※ 編輯: willydp (114.32.33.199), 11/13/2015 22:44:17
→
11/13 22:52, , 1F
11/13 22:52, 1F
→
11/13 23:09, , 2F
11/13 23:09, 2F
推
11/14 09:21, , 3F
11/14 09:21, 3F
討論串 (同標題文章)