[中學] n^2-n-1能被31整除

看板Math作者 (I'm Kenino.)時間10年前 (2015/11/13 01:22), 編輯推噓6(6推 0噓 27→)
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某正整數n，31可以整除n^2-n-1。試解n之值。 答案： n的解集合為{13,19,13+31,19+31,13+31*2,19+31*2,…} 請問大家應如何下手或有提示。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.171.10.250 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1447348970.A.8C0.html
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11/13 02:04, , 1F
=> 31 = k(n^2 -n -1), k為某正整數
11/13 02:04, 1F
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11/13 02:05, , 2F
=> 0 = k*n^2 -k*n -(k+31)
11/13 02:05, 2F
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11/13 02:05, , 3F
導入quadratic formula
11/13 02:05, 3F
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11/13 02:06, , 4F
等等 我笨了= =
11/13 02:06, 4F
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11/13 02:07, , 5F
把上面的k改成1/k
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11/13 11:53, , 6F
(n-19)(n-13)=n^2-n-1-31(n-8)能被質數31整除…
11/13 11:53, 6F
推
11/13 16:10, , 7F
推樓上
11/13 16:10, 7F
推
11/13 17:01, , 8F
樓上那個是怎麼想到的？
11/13 17:01, 8F
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11/13 17:35, , 9F
餘數集 let k* = { x is integer | x = k ( mod 31)
11/13 17:35, 9F
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11/13 17:36, , 10F
則 Z_32 = {0*, 1*, 2*, ... ,30*}
11/13 17:36, 10F
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11/13 17:38, , 11F
是Z_31, 可以定義a*+b* = (a+b)*和a*b* = (ab)*
11/13 17:38, 11F
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11/13 17:40, , 12F
在這個東西上做 n*^2 - n* - 1* = 0* 會得到 n*=13*
11/13 17:40, 12F
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11/13 17:40, , 13F
r 19*
11/13 17:40, 13F
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11/13 17:41, , 14F
詳細的作法就是k大的式子 列(n-a)(n-b) 爆開看有沒
11/13 17:41, 14F
推
11/13 18:45, , 15F
31 是質數所以其實可以直接配方爆開: 1*/2*=16*
11/13 18:45, 15F
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11/13 18:46, , 16F
16*x16*=8* 所以配方成 (n*-16*)^2=9*
11/13 18:46, 16F
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11/13 18:47, , 17F
9* 開平方根得 ±3*, 加 16* 得 13* or 19*
11/13 18:47, 17F
推
11/13 18:48, , 18F
11/13 18:48, 18F
推
11/13 18:51, , 19F
噢噢噢居然可以這樣 推推
11/13 18:51, 19F
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11/13 18:53, , 20F
想了想, 應該只有偶模數不能/2配方
11/13 18:53, 20F
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11/13 18:53, , 21F
而如果開平方失敗就表示無解
11/13 18:53, 21F
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11/13 18:54, , 22F
所以不一定限質數模數, 奇模數應該都能這樣做
11/13 18:54, 22F
推
11/13 22:42, , 23F
n*是 n除31的餘數嗎？
11/13 22:42, 23F
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11/13 22:43, , 24F
n*^2 - n* - 1* = 0* 會得到 n≡13(mod 31) or
11/13 22:43, 24F
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11/13 22:44, , 25F
n≡19(mod 31) ？看不懂。
11/13 22:44, 25F
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11/13 22:46, , 26F
n*^2 - n* - 1* = 0* 為什麼會變成13* or 19*？
11/13 22:46, 26F
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11/13 22:56, , 27F
你可以參考LPH的做法
11/13 22:56, 27F
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11/13 22:59, , 28F
因為31是質數 所以對任何非0*的a* 存在一個b*使得a*
11/13 22:59, 28F
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11/13 22:59, , 29F
=1*
11/13 22:59, 29F
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11/13 23:01, , 30F
使得a*b*=1*, 因此可以作除法 c*/a*=c*b* 類似倒數
11/13 23:01, 30F
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11/13 23:01, , 31F
念（反元素）
11/13 23:01, 31F
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11/13 23:01, , 32F
所以可以拿1*除以2* 然後配方
11/13 23:01, 32F
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11/13 23:14, , 33F
真是轉好幾個彎阿，終於看懂了。
11/13 23:14, 33F
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