Re: [中學] 高二向量
嗯, 筆記本畫了好一會兒應該是做出來了
以下的 a, b, c 皆為向量, O 是零向量, 其他字母數字皆是純量
內積寫 a.b, 向量長度寫 |a|, 長度平方寫 |a|^2 這樣
分狀況討論:
(1) a, b 垂直:
原式第一項消失, 條件成為 (b.c)a + (c.a)b = O
兩邊內積 b 得 (b.c)(a.b) + (c.a)|b|^2 = O.b = O
即 (c.a)|b|^2 = O, 但 b 不是零向量, 故 c.a = 0, 即 a, c 垂直
同理知 b, c 垂直, 即三向量兩兩垂直, 故 90 度為一解
(2) a, b 不垂直:
因為 a.b≠0, 這表示 c 可寫為 a, b 的線性組合
這裡又有兩種狀況:
(2-1) a, b 共線: 於是令 b = ka, k≠0
c 為 a, b 的線性組合所以也是 a 的常數倍, 令 c = ha, h≠0
代入化簡得 3hk |a|^2 a = O, 但 a 為非零向量, h, k 也都不是 0, 矛盾
(2-2) a, b 不共線: 令 c = pa + qb, 代入整理可得
(2p (a.b) + q |b|^2) a + (2q (a.b) + p |a|^2) b = O
因為 a, b 不共線所以兩係數皆為 0, 故得
a.b = (-q/2p) |b|^2 = (-p/2q) |a|^2 = |a| |b| cosθ
於是有 |a|:|b| = cosθ:(-p/2q) = (-q/2p):cosθ
右邊交叉相乘得 cos^2 θ= 1/4, cosθ=±1/2, θ= 60 度或 120 度
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注意到上面 (1) 的狀況在三維空間 (像座標軸那樣兩兩垂直)
但 (2) 因為 c 為 a, b 的線性組合所以三向量必共面
在題目沒給其他條件時比較難做統一討論
所以這裡才會直接分開寫
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題外話 (延續我推文講的對稱)
由這些推論及對稱性可知若三者之間沒有直角則它們之間的夾角只能是 60 度或 120 度
又其一為另二的線性組合, 故它們共面, 所以會有夾 60 度的狀況就只有一種:
三向量在這面上成「爪」字形, 左中和中右各夾 60 度, 左右夾 120 度
(我是到這裡才確認我講的"兩兩夾同角"是錯的)
向量長度無關, 上面的推論到後來長度參數 p q 都消光了所以長度只要非零多長都行
(其實這裡還能推出 |a|:|b| = |q|:|p|, 不過這跟本題就無關了)
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いああオレたちには見えてるモノがあるbデ きっと誰にも奪われないモノがあるはずさ
け 開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢 歪も
ぶ 意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある んの
く 依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生 ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛 だが
ろ 無意味じゃない ラ6あの意図が 恋た
で 有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私 のり
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