Re: [中學] 三角函數-求值域
※ 引述《aeiouhsu (aeiou)》之銘言：
: 請問下列函數
: f(x)=(sin 9x /sin x)+(cos 9x / cos x) 的值域。
: 感謝！
= (sin 9x cos x + cos 9x sin x) / (sin x cos x)
= sin 10x / ((1/2)sin 2x)
= 2 sin 10x / sin 2x
= 2 (sin 10x cos 2x) / (sin 2x cos 2x)
= 2 (sin 12x + sin 8x) / (sin 4x + sin 0) (和差化積)
= 2 (sin 12x / sin 4x + sin 8x / sin 4x)
令 y = 4x 則為 2 (sin 3y / sin y + sin 2y / sin y)
= 2 [(3 sin y - 4 sin^3 y) / sin y + (2 sin y cos y) / sin y]
= 2 (3 - 4 sin^2 y + 2 cos y)
= 2 (4 cos^2 y - 1 + 2 cos y)
= 8 cos^2 y + 4 cos y - 2
再令 t = cos y 則為 8t^2 + 4t - 2 = 8(t+1/4)^2 - 5/2
由 -1≦t≦1 知此式極值為:
極小 t = -1/4 → cos y = -1/4 → cos 4x = -1/4, 極小值為 -5/2
極大 t = 1 → cos y = 1 → cos 4x = 1, 極大值為 10
但由於中間化簡過程中除掉了 sin y, 因此需要檢查有沒有原式分母為 0 的狀況
cos 4x = -1/4 顯然不使 sin x 和 cos x 為 0, 故極小值成立
cos 4x = 1 為 x = kπ/2, 此時 sin x 或 cos x 必有一為 0, 故極大值不成立
易知這即是所有原式分母為 0 的狀況, 故不成立的值只有 10 一點
此題所求值域為 [-5/2, 10)
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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