Re: [中學] 兩題極值
高二空間向量有一道難題如下
A:=(1,1), B:=(3,5), P:=在直線2x-y=4上的任一點, 求PA長+PB長的最小值?
高二生的方法是"利用向量在空間中轉, 產生共線"的方式
當時我預習到這題時, 因為不知道這個技巧, 所以就自己想了一套方法如下
PA長+PB長 = √[ (x-1)^2+(y-1)^2 ]+√[ (x-3)^2+(y-5)^2 ]
因為當時只學過算幾不等式
就猜最小值成立於等號成立時
則(x-1)^2 - (x-3)^2 + (y-1)^2 - (y-5)^2 = 0
與2x-y=4的直線聯立
可得一點(x,y)=(3.5,3)
帶入以後剛剛好是這題正解!!!
但是之後再用這招就吃鱉了......
因為這個矛盾有點複雜, 當時又還沒學過橢圓來圖解
後來折騰了一下, 帶入點以後才發現
如同我在原篇所說
我的方法:求出一解(a,b), 帶入後得值為5, 算幾不等式右側為5(等號成立)
轉的方法:求出一解(c,d), 帶入後得值為2, 算幾不等式右側為1(等號不成立)
因為右側不固定, 所以等號成立不代表什麼 因此相當不建議操作這種不等式
結論: 算幾柯西有兩條禁忌(1)一側最好是常數 (2)注意等號成立時是否有解
原篇是剛好兩個禁忌都踩到, 所以看不出來比較深入的(1)點錯誤
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※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 14:25:26
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09/05 14:26, , 1F
09/05 14:26, 1F
謝指正, 原來這題是平面向量的, 難怪剛剛翻書沒找到這題
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 16:35:41
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 16:37:43
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09/05 18:11, , 2F
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09/05 18:12, , 3F
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換言之, 不等式的關係是正確的, 但是拿來求最大最小值可能會出錯
推
09/05 18:17, , 4F
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09/05 18:17, , 5F
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說到底, "注意等號成立時是否有解"就可避開這個常數的問題
你舉的這題是剛好兩個等號同時成立, 湊齊不等式後還需要檢查才能確定正確
補: 話說回來, 你這題還幫不等式一側找範圍, 可以算是廣義的常數
(至少於不等式等號成立時, 運氣夠好, 一端 = 他的最小值 = 一個常數)
而我的作法算是無地放矢, 直接亂套算幾, 也不幫兩側再多找範圍
因此完全無法判斷算出來的值是不是最大最小值, 因此"(1)一側要有常數"仍是重要的
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09/05 18:25, , 6F
09/05 18:25, 6F
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 19:36:27
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 20:00:31
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09/05 21:55, , 7F
09/05 21:55, 7F
反過來嚴格說
不等式一側(a)是常數 (b)成功找出可配合等號的範圍
才能使用柯西算幾來求極值
其他情況都只能碰運氣(也無法驗證是否猜對)
※ 編輯: thr3ee (140.112.217.39), 09/05/2015 22:20:55
討論串 (同標題文章)