Re: [微積] 極限定義證明

看板Math作者yhliu (老怪物)時間10年前 (2015/07/31 09:58)推噓0(0推 0噓 11→)

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※ 引述《ivorycoast ()》之銘言： : f(x)= x-1,x<0 ，試證明lim f(x)不存在 : 1+x,x>0 x->0 : 腦袋打結，怎麼取都沒辦法把絕對值裡面消到剩x : 麻煩高手給個提示，感謝 [反證法] 若 lim f(x) 存在, 設為 A, 則對任意 ε>0, 存在 δ>0, 使得當 0 < |x-0| < δ 時都保證 |f(x)-A| < ε. 因此, 對任意 x, y 滿足 0 < |x| < δ, 0 < |y| < δ, 得 |f(x) - f(y)| ≦ |f(x)-A| + |A-f(y)| < 2ε. 但取 x < 0, y > 0, 則 |f(x) - f(y)| = |(x-1) - (1+y)| = |x-y-2| ≧ 2-|x-y| 因此, 若 ε<1, -1/2 < x < 0 且 0 < y < 1/2, 則 |f(x)-f(y)| ≧ 1 > ε, 這與 "lim f(x) 存在" 的結果矛盾. 因此, lim f(x) 不存在. x→0 [另證] 若 lim f(x) 存在, 依定義, 存在 A (in R), 對任意 ε>0, 存在 δ>0, 使得當 0 < |x-0| < δ 時都保證 |f(x)-A| < ε. 所以 lim f(x) 不存在, 表示對任意 A (in R), 存在 ε>0, 使得對任意 δ>0 都可找到 x, 既滿足 0 < |x-0| < δ, 又符合 |f(x)-A| ≧ ε. 設 A = 1, 取 ε=1, 對任意 δ>0, 取 -δ < x < 0, 則 |f(x)-A| = |(x-1)-1| = |x-2| = -x+2 > 2 > ε. 設 A = -1, 取 ε=1, 對任意 δ>0, 取 0 < x < δ, 則 |f(x)-A| = |(1+x)-(-1)| = |2+x| = 2+x > 2 > ε. 設 A 不為 1 也不是 -1, 取 ε=|1-A|/2 對任意 δ>0, 取 0 < x < min{δ,|1-A|/2}, 則 |f(x)-A| = |(1+x)-A| = |(1-A)+x| ≧ |1-A| - x > |1-A|/2. 所以不論 A 是何值, 都可找到 ε>0, 使得無論 δ 是多少, 只要 δ>0, 都存在 x 滿足 0<|x-0|<δ, 而且使 |f(x)-A|>ε. 因此, lim f(x) 不存在. x→0 [證3] 若 lim f(x) 存在, 則其左極限、右極限都存在, 而且 x→0 lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) x→0- x→0 x→0+ 本例 lim f(x) = lim (x-1) = -1 x→0- x→0- lim f(x) = lim (1+x) = 1 x→0+ x→0+ 因左右極限不等, 故 lim f(x) 不存在. x→0 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.165.127.21 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1438307932.A.EB2.html

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