Re: [幾何] 兩題幾何
※ 引述《ballballking (蛋蛋王)》之銘言：
: 1.
: 三角形ABC對應邊為a,b,c
: b=5 a=4
: 且cos(A-B)=31/32
: 求三角形面積
三角形大角對大邊
∠B > ∠A
AC上找一點D使 AD=DB
設AD=t, DB=t, DC=5-t
考慮ΔDBC, ∠DBC=∠B-∠A
cos(∠DBC) = cos(B-A) = cos(a-B) = [t^2+16-(5-t)^2]/[2*t*4] = 31/32
解得 t=4, AD=4=DB, DC=1
cos(C) = (1+16-16)/(2*1*4) = 1/8
sin(C) = √63/8
三角形面積 = 1/2 * 5 * 4 * √63/8 = (5√63)/4
: 2.
: 空間中一四面體O-ABC
: OA=OB=OC=26
: BC=20
: 三角形ABC中
: cosC=3/4
: cosA=(sqrt2)/3
: 求四面體體積
P 在AC邊上使 AC⊥BP
PC = 20*cos(C) = 15
PB = √(20^2-15^2) = √175
cos(A) = (√2)/3 , 設AB=3a, AP=√2a
(3a)^2 = (√2a)^2 + 175
解得 a=5, AP=5√2, AB=15
sin(A) = √7/3
∵OA=OB=OC ∴O在三角形ABC的垂足D為三角形ABC的外心
外接圓半徑 DA=DB=DC= [(BC)/sin(A)]/2 = 30/√7 (正弦定理)
OD = √(OA^2 - DA^2) = 2√(958/7)
四面體體積 = 三角形ABC面積 * OD / 3
= (1/2)*(15+5√2)*5√7 * 2√(958/7) / 3
= 25√958 + (50/3)√479
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