Re: [微積] 3題積分問題
※ 引述《blue99 (藍)》之銘言：
: 2 4
: 1. ∫sin x cos x dx
: π 1
: 2. ∫ --------- dx (α>1)
: 0 α-cosx
: 1
: 3.∫------------ dx
: 1+sinx-cosx
: Ans: 3
: 1. x/16 - sin4x/64 + sin 2x /48 + c
: ________
: 2. π/√α^2 -1
: 3. ln |tan(x/2)/1+tan(x/2)|
2.複變的常見題型
可用留數計算之
不妨令z=e^(ix),dz=izdx
原式=(1/2)∮c (dz/iz)/【α-{[z+z^(-1)]/2}】
=i*∮c dz/(z^2-2αz+1)...此時f(z)=1/(z^2-2αz+1)
=i∮c dz/[(z-α)^2+(1-α^2)]
然後找出contourC
所包含的simple pole
由於α>1,因此所在simple pole為
z_o = α-√(α^2-1)...在單位圓中
最後用simple pole所在的residue求得
Res[f(z),z_0]
= lim (z - z_o) [1 / f(z)]
z->z_o
=(-1)/[2√(α^2-1)]
求出∮c dz/[(z-α)^2+(1-α^2)]
=(-πi)*Res[f(z),z_0]
=(-πi)/[√(α^2-1)]
再代回原式
即可得出
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