Re: [微積] 3題積分問題
※ 引述《blue99 (藍)》之銘言：
: 2 4
: 1. ∫sin x cos x dx
sin^2(x) cos^4(x) = (sin^2(2x) cos^2(x))/4
(1+cos(2x))sin^2(2x)
= ----------------------
8
1 x sin(4x)
因此 ∫sin^2(x)cos^4(x) dx = ------ sin^3(2x) + ----- - --------- + C
48 16 64
: π 1
: 2. ∫ --------- dx (α>1)
: 0 α-cosx
令 t = tan(x/2)，把原積分轉成
∞ 2 dt
∫ ----------------------
0 (α-1) + (α+1) t^2
2 π
= ---------------------- * ----
sqrt(α-1)sqrt(α+1) 2
= π/sqrt(α^2-1)
: 1
: 3.∫------------ dx
: 1+sinx-cosx
一樣，令 t = tan(x/2) 把原積分換成
1
∫ -------- dt
t(t+1)
= ln|t| - ln|t+1| + C
= ln |tan(x/2)/(1+tan(x/2))| + C
: Ans: 3
: 1. x/16 - sin4x/64 + sin 2x /48 + c
: ________
: 2. π/√α^2 -1
: 3. ln |tan(x/2)/1+tan(x/2)|
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