Re: [中學] 三角形問題及最大值最小值
※ 引述《jlt (藍之戀)》之銘言：
: 1. 設D為正三角形ABC內的點,已知D到三頂點距離為5,12,13,求邊長
: 2. 設三角形ABC中,角C=90度,以AB、AC為邊向外各作正三角形ABF及ACG
: 設M是BC的中點,若MF=11,MG=7,求BC長
: 3. 一等腰三角形ABC中,已知頂角C為20度,在AC上有一點D滿足CD = AB ,
: 求角CDB的度數
: 4. 實數x,y滿足x^2 + xy + y^2 =3(x+y+3),求x^2+y^2的最大值與最小值
: 請大大們幫忙提點喔!謝謝! ^^
1. 令DA=5, DB=12, DC=13, 將DBC往AB方向轉60度使得A、C重合，D旋轉後為D'。
則D'BD為邊長12的正三角形，AD'B為直角三角形，其中DA=5, DD'=12, AD'=13
再令∠AD'D=θ,cosθ=12/13, sinθ=5/13, 最後利用60度+θ和餘弦定理即可求得AB
2. △AFC和△ABG全等,因此BG=FC,
再利用中線定理可知 FC^2+FB^2=2(FM^2+MC^2)
GC^2+GB^2=2(GM^2+MC^2)
相減可得FB^2-GC^2=2(FM^2-GM^2) =>AB^2-AC^2=2(11^2-7^2)=BC^2 => BC=12
4. 設x+y=a,xy=b, 則x,y為t^2-at+b=0之兩實根，因此a^2-4b≧0 (*)
再將原式改寫，a^2-b=3(a+3) => b=a^2-3a-9 代入(*)
a^2-4b=a^2-4(a^2-3a-9)=-3a^2+12a+36=-3(a^2-4a-12)=-3(a-6)(a+2)≧0
則-2≦a≦6
所求x^2+y^2=a^2-2b=a^2-2(a^2-3a-9)=-a^2+6a+18=-(a-3)^2+27
a=3有最大值27, a=-2有最小值2
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