Re: [幾何] 多邊形內銳角的數量

看板Math作者XII (Mathkid)時間9年前 (2015/01/21 17:58)推噓2(2推 0噓 6→)

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: 在平面上, 已知一個凸多邊形，不論邊數最多都只可以有三個銳角， : : 那麼如果該多邊形是凹多邊形, 其銳角的數量最大值可否以其邊數表示? : 又如何証明該數字為最大? : : → LPH66 : 再仔細討論一下就可以得到 floo((2n+2)/3) 的結果 01/20 23:18 ^^^^^^^^^^^^^^^^ 錯了以逆時針繞n多邊形走,左轉角度為正,右轉角度為負設在n個轉角的角度為 x_i*(90度), x_i∈(-2,2), i=1,..,n 因 x_1+..+x_n=4 且第i個角為銳角 iff x_i∈(1,2) 若有 k 個銳角,設 x_1,..,x_k∈(1,2), x_{k+1},..,x_n∈(-2,1] 則 k < x_1+..+x_k = -(x_{k+1}+..+x_n)+4 < 2(n-k)+4 故 3k<2n+4 => k≦(2n+3)/3 => k≦[2n/3]+1 n=3,4,5 時容易畫出有 [2n/3]+1 個銳角的n邊形若已畫出有 [2n/3]+1 個銳角的n邊形則有一邊AB,其∠A,∠B為銳角將AB邊做如下操作, P Q \ / A----------------B => A R B 內部內部其中必可使∠APR,∠BQR為銳角,且∠A,∠B亦為銳角,其他角不變則可作出有[2n/3]+1+2=[2(n+3)/3]+1個銳角的(n+3)邊形故由數學歸納法可知: n邊形最多可有 [2n/3]+1 個銳角 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.16.69 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1421834336.A.4BE.html ※ 編輯: XII (140.109.16.69), 01/21/2015 18:02:03

推

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yyc2008

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