Re: [代數] 多項式在某些field的分解

看板Math作者AntiForm (鳳翱九天)時間11年前 (2015/01/13 01:17)推噓4(4推 0噓 9→)

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※ 引述《Torreschu (一人做事薏仁湯)》之銘言： : 題目是判斷 : X^6+X^5+X^3+X+1 在 over Z_2 是否為irreducible : 答案是NO! : 因為 : X^6+X^5+X^3+X+1=(X^2+X+1)^3 over Z_2 : 我想問他是如何找到 X^2+X+1 這個因式的? 如果是Z_2的話... X^6+X^5+X^3+X+1 = X^6+X^5+X^4+X^4+X^3+X^2+X^2+X+1 (在代值上是一樣的) = (X^6+X^5+X^4)+(X^4+X^3+X^2)+(X^2+X+1) = (X^4+X^2+1)(X^2+X+1) = (X^4+2X^2+1-X^2)(X^2+X+1) (古老的因式分解現在大概刪光光了) = [(X^2+1)^2-X^2](X^2+X+1) = (X^2-X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1) = (X^2+X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1) ^^..這裡嘛..因為在Z_2中, +0=-0 , +1=-1 , 所以+X=-X 這樣可以嗎?? : 另外原本式子X^6+X^5+X^3+X+1代 0 進去得 1 : 代 -1進去得 -1 : 代表原本式子在0和-1之間有實根 : 但轉成(X^2+X+1)^3之後根只剩下純虛根了,為什麼? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.200.160.227 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1421083039.A.BA1.html

推

Torreschu

01/13 01:21, , 1^F

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==關於下面這段== 然後我也看不懂1(4)解答,到底為什麼他知道令 g(x)=f(x+1)可以找出答案啊?太猛了!!! 而且我也不懂為何令 g(x)=(X^2+aX+b)(X^2-aX+c)這麼特殊的形式去確認他irreducible 就能知道他是irreducible,我完全無法掌握他的思考脈絡揪命啊~~~~~~我要崩潰啦 TOT =================== 首先是f(x+1) 其實若f(x)可分解, 那f(x+1)應該也要可以分解因為在Q(根號3)中有解x=a, 那a+1也依然在體中能分解分解的結果當然會不一樣, 但是一定在原來的體裡(保證存在) 換言之, 若f(x+1) 在Q(根號3)沒根, 那f(x)也不會有根其實也不一定要+1, 找個整數來就好了, 只要能說明存在即可奸詐的地方是這裡的選擇讓後來的g(x)沒有三次項這有二個很大的好處一個是這裡剛好一次方項係數為0 (我認為是巧合,所以我有最下面的疑惑@@) 若令u=x^2 , 那根本就是在做u二次式因式分解只要能在體中分解,就代表可以, 不然就不行第二個好處就是, 當三次方項係數為0, 就保證能分解成 (x^2+ax+b)(X^2-ax+c) 因為+a和-a的係數能讓你乘開後三次方項係數為0 然後跟原方程式對照後討論係數a,b,c === 以上是看解答的事後諸葛解釋我一直覺得算出g(x)後直接打開(x^2+ax+b)(X^2-ax+c)討論就好了解答的算出g(x)先求g的因式分解我覺得多此一舉不曉得這步驟是否為必要的一步以上有錯請指正 3Q~ ※ 編輯: AntiForm (1.200.160.227), 01/13/2015 02:08:46 ※ 編輯: AntiForm (1.200.160.227), 01/13/2015 02:10:30

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Torreschu

01/13 02:35, , 2^F

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Torreschu

01/13 02:38, , 3^F

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Torreschu

01/13 02:39, , 4^F

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