Re: [中學] 奧林匹亞初選試題2015
※ 引述《newsonica (十年光陰~~)》之銘言：
: 在凸四邊形ABCD中,角ABD = 角CBD = 角ADC = 45度,
: AB線段=a, BC線段=b, CD線段=c, DA線段=d (d不等於a), 試求:
: (a^2-b^2)
: ---------
: (c^2-d^2) 的範圍是?
: 答案是 1<所求< 根號(2)
: 這題該怎麼切入呢?
: 謝謝~~
設BD=t
A: a^2+b^2 = c^2+d^2 -2cdcos45
B: c^2=b^2 + t^2 - 2btcos45
C: d^2=a^2 + t^2 - 2atcos45
面積：atsin45+btsin45=ab+cdsin45
=>(a+b)tsin45=ab+cdsin45
=> D: (a+b)tcos45=ab+cdcos45
E: B+C: c^2+d^2=a^2+b^2 + 2t^2 -2(a+b)tcos45
F: A and E: cdcos45=t^2 - (a+b)tcos45
D and F: t^2-2(a+b)cos45 t + ab=0
=>t= (a+b)cos45 +- [(a+b)^2 cos^2 45 - ab]^(1/2)
= (a+b)[cos45 +- {cos^2 45 - [ab/(a+b)^2]}^(1/2)]
= (a+b)[cos45 +- {cos^2 45 - k}^(1/2)]
k=ab/(a+b)^2 算幾 => 0 < k < 1/4
B-C： c^2-d^2 = (b^2-a^2) -2(b-a)tcos45
= (b^2-a^2)* m
m=-1 + 2tcos45/(a+b) =-1 + 2cos45[cos45 +- {cos^2 45 - k}^(1/2)]
=> -1 < m < -√2/2 or √2/2 < m < 1
n= (a^2-b^2)/(c^2-d^2) = 1/m => -√2 < n < -1 or 1 < n < √2
不知道為啥算出負的...
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討論串 (同標題文章)
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