Re: [分析] 關於 S^1 的旋轉
※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: 考慮 S^1 = [0,1) 且其上的旋轉函數 Ra: [0,1) -> [0,1), Ra(x) = x + a (mod 1)
: 已知若 a 是無理數，則對於所有 x \in [0,1)，其軌跡 { (Ra)^n(x) : n 正整數 }
: 在 [0,1) 稠密。
: 現考慮兩個不同的無理數 a, b， a/b 不為有理數，定義
: R: [0,1)^2 -> [0,1)^2, R(x,y) = (x+a, y+b)
: 想請問：
: 給定任意的 (x,y)，是否存在某個子數列 (n_j)_j 使得
: R^(n_j)(x,y) -> (x,y) 當 j -> ∞
: 非常感謝！
: ＿＿＿＿＿
: 這個問題有另外的詮釋，考慮 torus T = [0,1)^2 上的 linear flow，
: S(t;x,y) = (x+ta, y+tb), t 為實數
: 因為 a/b 不為有理數（在此不需 a, b 是不同的無理數，但我多給條件），
: 則軌跡在 T 中稠密。
: 現在 R 是 S 的離散動力系統，亦即 R^n(x,y) = S(n;x,y), n 為整數
: 我的問題是：已知「連續的軌跡」在 T 中稠密，是否「離散的軌跡」也在 T 中稠密？
: 佳佳
你的原題應該需要更多條件: {1, a, b}線性獨立over Q
證明:
要證明稠密, 取一個點p在T^2裡面, 然後造一個cut-off function φ,
φ>= 0, 且support φ在p中心半徑ε的圓裡面.
考慮所有函數f_{n,m}(x, y) = exp(2πi(nx + my)),
其中n, m是整數, x, y是T^2的座標.
N-1
接下來證明, (1/N) Σ f_{n,m}(ta, tb)會趨近0, 若n或m≠0; 趨近1, 若n=m=0.
t=0
(因為na + mb都是無理數, 這是原本S^1的情況)
最後, 用Stone-Weierstraß, f_{n,m}生成的向量空間會在C(T^2)裡面dense,
用f_{n,m}的線性組合逼近(uniformly) φ, 就得到
N-1
lim (1/N) Σ φ(ta, tb) = ∫φdxdy
N t=0
也就是所謂的pointwise ergodicity.
因為φ是cut-off function, 所以右邊的積分 > 0. 因此有無限多個t, φ(ta,tb)≠0.
也就是說, 有無限多個t, 使得(ta, tb)與p距離在ε之內, 因此軌道稠密.
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※ 編輯: willydp (1.160.226.216), 08/09/2014 23:18:21
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