Re: [分析] 曲線微分之後不連續會怎樣?

看板Math作者wohtp (會喵喵叫的大叔)時間9年前 (2014/08/03 14:13)推噓3(3推 0噓 8→)

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你們這些搞數學的最討厭了啦，老是變出這種白馬非馬的例子 (／‵Д′)／~ ╧╧ 說錯的部分就自刪了。 : : 謝謝那我想請問一下兩位 : : 如果要探討某個 curve(simply a set of points) 的幾何特性 : : 譬如舉在某點的切線為例好了, 那麼要怎樣才能利用參數方程式判斷 : : : 因為同一個 curve 有好幾種參數化的方式, 其中有好有爛, : : 可能單純的 x 軸用 parametric 表示出來的時候 : : 都可以故意讓它好幾個點的函數變很糟. : : 換言之要討論一個 curve 的切線, 用參數事不是很不準阿? : 我覺得問題出在，你想看幾何性質，但是參數不知道你的幾何。事實上，給定metric，通常弧長是唯一一個有幾何意義的參數。還是以 R^2 和 Euclidean metric 為例，r 是曲線，s 是弧長，則我們知道： 1. 若 (dr/ds) 存在，則 |dr/ds| = 1 2. cusp ==> (dr/ds) 的左右極限存在但不相等 3. discontinuous jump ==> 左右極限有一邊不存在因為弧長是純粹由幾何決定的，所以經由弧長計算出來的東西都保證是幾何性質。但你如果用了其他的參數 t，微分出來就變成 dr/dt = (ds/dt) (dr/ds) 即使 r(s) smooth 也好，什麼鬼東西都可以從 (ds/dt) 裡面偷渡進來。我甚至也不必像之前一樣人工弄一個cusp，我們考慮又乖又聽話的 s = t^3 就好了：你已經看到 s = t = 0 的時候會發生甚麼事了吧？總之，你要看幾何性質，最好就只用弧長、面積、體積...之類的幾何不變量。 -- Sent from my Reinforce Zwei -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 103.1.70.177 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1407046402.A.BE2.html

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JSDurand

08/03 16:37, , 1^F

08/03 16:37, 1^F

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JSDurand

08/03 16:38, , 2^F

08/03 16:38, 2^F

不過這傢伙的弧長好像會在原點爆掉？要造這種怪例子，一定要付出代價的啦。

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alfadick

08/03 17:29, , 3^F