Re: [微積] 關於極限的證明~

看板Math作者Ryoui (Ryoui)時間9年前 (2014/08/02 02:19)推噓0(0推 0噓 6→)

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※ 引述《letmegoogle (goo之哉 goo之哉)》之銘言： : 各位好~ : 今天看到了這樣的題目，有點不知道怎麼做出來的。 : 題目如下~ : 運用ε→δ法來證明 lim x^2=9 : x→3 : [解] : 對每一個ε>0，要找一個δ>0 (不好意思，邏輯符號我打不出來~) : s.t.0<|x-3|<δ時，取δ=min﹛1, ε/7﹜， : (問題一:怎麼知道要這樣取?尤其那個ε/7是怎麼做出來的?) : 於是δ<1且δ<ε/7=>|x-3|<δ<1 : (問題二:要推得|x-3|<δ<1，事實上也只需要δ<1， : 而δ<ε/7這道式子事實上是用不到的，不是嗎?) : => -1<x-3<1 => 2<x<4 => x+3<7 : (問題三:之所以會有個7出現，是因為上面這行~ : 那麼在問題一那邊就知道有個7來當分母， : 好像有點怪怪的?) : =>|x^2-9|=|x+3| |x-3|<7|x-3|<7δ<7ε/7=ε : =>|x^2-9|<ε恆成立。 : (問題四:這個證明的佈局是不是有甚麼問題?) : 感謝各位~<(_ _)> 通常我的作法是這樣：　　　　　　　for all ε>0, there exists δ=___>0 (空格內先放著不填) s.t 0<|x-3|<δ => |x^2 - 9|＝|x-3||x+3| ＜δ|x+3| 　　＜δ(δ+6) (這裡想要消掉一個δ) (＊) ≦7δ (這裡想要化成<ε) 寫到這裡就可知, 如果我前面把空格填入ε/7, 則可以滿足極限定義。但同時要滿足"消掉一個δ"的步驟(＊), 所以需多加一個條件:δ<=1 那取δ=min{ε/7, 1} 即可滿足上述的目的。 ============================================================================== 習慣上我們通常會把不等式湊成 0<|x-x_0|<δ => |f(x)-f(x_0)|<ε 當然你也可以小於其他倍數倍的ε, 那樣是等價的寫法。不過這樣看的人會不習慣，不推薦就是了:P -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.22.70 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1406917191.A.023.html

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yyc2008

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δ(δ+6)這邊, 如果你能假設δ<1, 那就能夠化成7δ 在後面湊ε會比較容易。如果你不先假設δ<1，那會是一個二次的不等式，我個人是沒想過怎麼去解這個問題:p

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yyc2008

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yyc2008

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