Re: [微積] ｜sinx-x｜ <= (x^2)/2 的証明
※ 引述《dreamer15 ()》之銘言：
: 如題
: sinx-x 的絕對值 小於等於 (x^2)/2
: 該如何證明? 可用均值定理嗎 還是有其他方法 感謝各位了
柯西定理做兩次(均值定理的變形)
Let f(x) = x-sinx
g(x) = (1/2) x^2
f(x)與g(x)在[0,a]連續,在(0,a)可微,g'(x)≠0
則
f(a)-f(0) a - sin a f'(b) 1-cos b
--------- = ----------- = ------- = ---------- b is in (0,a)
g(a)-g(0) (1/2) a^2 g'(b) b
x 與 1-cosx 同樣在[0,b]連續,在(0,b)可微
1-cos b sin c
--------- = -------- ≦ 1 c is in (0,b)
b 1
i.e. as x > 0 , x - sin x ≦ (1/2) x^2
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是的,造輔助函數 F(x) = f(x) - g(x)(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
再對 F(x) 用 MVT, 最後 MVT 變成柯西均值定理的特例
※ 編輯: ERT312 (36.238.89.45), 06/23/2014 20:22:48
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