Re: [微積] ｜sinx-x｜ <= (x^2)/2 的証明

看板Math作者wohtp (會喵喵叫的大叔)時間11年前 (2014/06/23 00:38)推噓4(4推 0噓 5→)

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也來做一下... ※ 引述《dreamer15 ()》之銘言： : 如題 : sinx-x 的絕對值小於等於 (x^2)/2 : 該如何證明? 可用均值定理嗎還是有其他方法感謝各位了 1. |sin(-x) - (-x)| = |-(sinx - x)| = |sinx -x| 所以只要考慮 x >=0 就好。 2. 這個範圍裡 x >= sinx。所以我們比的其實是 (x^2)/2 和 (x - sin x)，絕對值就可以拿掉了。 3. 考慮 f(x) = (x^2)/2 - (x - sin x) = (x^2)/2 + sin x - x 我們想證明 f(x) 非負。 4. f'(x) = x + cos x - 1 正負還不清楚... f"(x) = 1 - sin x >= 0 這個就確定了 5. 因為 f'(0) = 0 且 f"(x) >= 0，所以 f'(x) >= 0 6. 因為 f(0) = 0 且 f'(x) >= 0，所以 f(x) >= 0 得證。 -- 下列哪一隻鋼彈比較厲害？ 1. 公式承認尺寸最小的鋼彈 2. 搭載高性能AI，還有越來越誇張的外掛武裝 3. 在希洽曾被水桶 4. 雖然不能飛，但是很會做菜（？ 5. 我想不到第五隻 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.172.25 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1403455130.A.93E.html

推

dreamer15

06/23 01:20, , 1^F

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dreamer15

06/23 01:23, , 2^F

06/23 01:23, 2^F

老實說，我第一眼看到題目的反應也是：「啊，不就 sinx 級數減掉首項嗎？」 x 接近零的時候，級數三次項起跳會比平方項小。而 x 很大的時候會把 sin x 淹過去，跟平方比還是小，所以命題*大概*是對的。不過我的經驗裡，級數拿來猜答案很好用，拿來作嚴謹證明卻會比較麻煩。

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alfadick

06/23 09:37, , 3^F