[其他] 別再解析研拓了, 你聽過範疇化嗎?

看板Math作者TassTW (塔矢)時間11年前 (2014/06/15 10:56)推噓21(21推 0噓 10→)

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讓我來介紹一點 21 世紀的數學. 1. 望文生義我們可以有第一種解釋: 範疇化(categorification) 是把現有的數學結構疊床架屋, 造一層更高的 category structure - 把原 object 都賦予一個 category, 把原本的 map 變成 functor, 把原本結構的等式看成 isomorphism ... 等等例: 用 N 表所有含零自然數的集合, 這個集合上面有加法有乘法, 可以寫下自然數的等式, 如 1 + 1 = 2, 但是不能寫下 1 + 1 + 1 + .... = -1/2. 一個天真的 categorification 就是把自然數 n 送到 n 維空間 R^n, 如此一來 1 + 1 = 2 就有個潮到出水的高等級解釋: R^1 ⊕ R^1 同構於 R^2. 同樣的, 自然數的乘法, 也可以看成 n 維空間和 m 維空間的 tensor product 同構於 n*m 維空間. 因此我們可以說以下這些等價敘述. "有限維實空間 categorify 自然數" "有限維實空間是自然數的 categorification" "有限維實空間就是 categorified 自然數" 並可以畫出圖有限維實函數 categorification ↑ ↓ decategorification = 變成該維的空間 = 算維度自然數 2. 喔喔, 這個說法看起來好厲害, 有什麼用呢? 在這個例子沒有用你把 1+1=2 這樣看除了比較潮以外一點用都沒有. 但是, 我們可以找到有用的 categorification, 比方說: 例: 中學的時候大家可能學過這個歐拉公式: 給你一個多面體, 你必定有面數 - 邊數 + 點數 = 2 學過代數拓樸以後, 就知道上面的歐拉公式是 Euler characteristic 的特例: 給你一個 CW complex X, X 的 Euler characteristic 等於 ∞ i chi(X) = Σ (-1) dim H_i(X), i=0 其中 dim H_i(X) 是 X 的 i-th homology group 的維度, 等於 X 中 i-cells 的個數. 比較少人知道的是這個公式的更高一層解釋: Khovanov 在 2000 年的文章發展了一套 graded homology theory, 對於每個 knot 定義了一組 graded vector spaces Kh(K) = (Kh^a(K))_a in Z. 並證明這個 Khovanov homology 的 Euler characteristic 就是 (normalized) Jone polynomial J(K), 即 a chi(Kh(K)) = Σ (-1) gdim Kh^a(K) = (q+q^-1)J(K), a in Z 或是 Khovanov homology categorification ↑ ↓ decategorification (複雜在此不表) = (normalized) Euler characteristic Jones polynomial 而之後 Rassmussen 在 2010 用了這個 categorification 證明了 Milnor conjecture. 到此有人提出了第二種 categorification 的解釋 "範疇化就是定義新的 homology 來解釋數學結構" 3. 可是拓樸不是我的菜, categorification 有沒有其他用啊? 當然有, 在表現理論當中這個工具發展蓬勃. 例: 讓我們來 categorify Lie algebra sl_2(C) = <e,f,h>. 簡單的表現理論告訴我們任一 sl_2-module V 都有 decomposition V = ⊕ V_n, 並且 e 在每個 V_n 上的作用會落到 V_n+2 中, f 在每個 V_n 上的作用會落到 V_n-2 中, h 在每個 V_n 上的作用會送回 V_n. 一個天真的 categorification of sl_2-action 就是把 e 送到 functor E: D_n -> D_n+2, f 送到 functor F: D_n -> D_n-2, h 送到 functor H: D_n -> D_n, 使得這些 functors 間的 compositions 要有李代數該有的樣子, 如 EF|D_n 同構於 FE|D_n ⊕ n份 Id_{D_n} ... 等等注意到 D_n 的 split Grothendieck group 就是 V_n, 我們便有 categories {D_n} categorification ↑ ↓ decategorification (如上構造) = Grothendieck group sl_2 repn V 但是這個天真的 categorification 也有所侷限, Chuang-Rouquier 在 2008 給出一個更厲害的 categorification, 多要求了 adjointness 和 nil affine Hecke relations...等等, 然後他們用這個 categorification 證明了 modular representation of symmetric groups 當中某些 blocks 等價, 解決了 Broue's abelian defect group conjecture. 這類的結果很多, 因此也有人給出範疇化的第三種定義: 範疇化就是對一個結構構造一個範疇, 使得該範疇的 Grothendieck group (或 ring) 和原結構之間做為 group/ring/algebra 同構另一方面, 做幾何表現論的人也可以由此構造出一些 derived categories of constructible sheaves on Grassmannians 之間的等價. Cautis-Kamnitzer-Licata 也將這個 abelian cat 上的結果推廣, 給出 coherent sheaves of cotangent bundles 的結果, 證明了 Kawamata 和 Namikawa 的猜想. 4. 字好多好麻煩, 有沒有圖啊? 有的, 這個我就沒辦法在 BBS 上畫出來了... 有興趣的可以去看 Arron Lauda 的講義 http://arxiv.org/abs/1106.2128 簡單的說, 他用圖來表示兩個 functors 之間的 natural transformations, 定義 categorification 時所列出洋洋灑灑的 relations, 都可以用圖簡化, 大部分的關係都可以看成是圖和圖之間的 homotopy. 5. 最後讓我給一下第4種 categorification 的解釋對於一個 (n-1)-category, 和任何一種從 n-cat 打到該結構的 decat., 範疇化就是這個 decat. 的反向操作在第一個例子中, decat. 是數維度, 第二個例子中, 是算 Euler characteristic, 在第三個例子中, 是算 Grothendieck group, 還有更多更多的新 decat. 冒出來. 總結, categorification 是 21 世紀的數學, 更高層的結構會給你更豐富的資訊, 雖然不一定每個 categorification 都有用, 但是只要構造夠自然, 就有可能解決現有的問題, 不只是 abstract nonsense. -- 「我們愛星星至深無懼於黑暗。」 "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night." -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 71.206.183.141 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1402800994.A.65F.html ※ 編輯: TassTW (71.206.183.141), 06/15/2014 11:10:20

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wwfc

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yw1002

06/15 11:29, , 2^F

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jacky7987

06/15 12:46, , 3^F

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