[代數] separable closure
Let y and z be indeterminates, and let u=y^12 and v=z^18. Describe the
separable closure of Z_3(u,v) in Z_3(y,z).
Ans: Z_3(y^3,z^9)
這是 A First Course in Abstract Algebra, Fraleigh 第52章的 Exercise 1
想請問各位這題該怎麼下手
順便問一下，這本書定義了{E:F}, the index of E over F:
Let E be a finite extension of F. The number of isomorphisms of E onto a
_
subfield of F leaving F fixed is the index {E:F} of E over F.
其他的代數書有這個東西嗎? 因為我找了滿多書都沒有定義這個東西
然後這本書定義的separable extension也跟其他書不一樣，他的E is separable over
F是定成{E:F}=[E:F]
separable closure的定義也稍微不同，他是說
Thm 52.5: Let F have nonzero char p, and let E be a finite extension of F.
Then there is a unique extension K of F, with F<=K<=E, such that K is
separable over F, and either E=K or E is totally inseparable over K.
定義這唯一的K是separable closure of F
這些定義應該是跟其他書的等價吧(我沒證XD)，那麼有沒有哪個定義比較方便的差別
只是覺得這本書很特別，所以順便問一下有沒有定義要跟大家不一樣的八卦XDD
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05/29 22:04, , 1F
05/29 22:04, 1F
我原本的做法是這個樣子
假設它的separable closure為Z_3(y^m,z^n) (不知道這一步有沒有問題)
Z_3(y,z)=E
∣ totally inseparable
Z_3(y^m,z^n)=K
∣ separable
Z_3(y^12,z^18)=F
令y^m的minimal polynomial over F為x^k-y^12，其中k為待定整數(這步我也不確定對
不對)
因為y^(mk)-y^12=0，所以mk=12
又因為m|12，所以k的可能為1,2,3,4,6,12
可是F為char p=3的體，k只能為1,2,4 (若k=3，則x^3-y^12=(x-y^4)^3不是separable)
所以y^m的minimal polynomial over F可能是x-y^12, x^2-y^12, x^4-y^12
即y^m可能是y^12, y^6, y^3
另一方面，根據Thm 52.5，y is totally inseparable over K iff there is an
integer t>=1 such that y^(3^t) in K.
將separable和totally inseparable得到的條件合起來，推得y^m其實就是y^3
同理，z^n是z^9
不曉得這個作法有沒有哪些的漏洞
可是用這個作法我就不會做第2題了。第2題同第1題，只不過把v改成y^2*z^18
至於w大說的看y的minimal polynomial怎麼分解，這個作法我要再想想看，謝謝
也請其他人指教，感謝大家
※ 編輯: secjmy (1.171.22.128), 05/29/2014 23:15:40
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