Re: [微積] 問一題微積分
※ 引述《Anisno (Anisno)》之銘言：
: 小弟我遇到一題積分
: ∫sec^5x dx
: 我不知道要怎麼積分，感覺很複雜
5
∫sec x dx
3 2
= ∫(sec x)(sec x) dx
3 2
= (sec x)(tanx) - ∫(tanx)(3)(sec x)(secx)(tanx) dx
3 2
(令 u = sec x , dv = sec x dx
2
則 du = (3)(sec x)(secx)(tanx) dx , v = tanx )
3 3 2
= (sec x)(tanx) - (3)(∫(sec x)(tan x) dx)
3 3 2
= (sec x)(tanx) - (3)(∫(sec x)(sec x - 1) dx)
3 3 5
= (sec x)(tanx) + (3)(∫sec x dx) - (3)(∫sec x dx)
5 3 3
(4)(∫sec x dx) = (sec x)(tanx) + (3)(∫sec x dx)
5 1 3 3 3
∫sec x dx = (---)(sec x)(tanx) + (---)(∫sec x dx) -------(1)
4 4
3
∫sec x dx
2
= ∫(secx)(sec x) dx
= (secx)(tanx) - ∫(tanx)(secx)(tanx) dx
2
(令 u = secx , dv = sec x
則 du = secxtanx dx , v = tanx)
2
= (secx)(tanx) - ∫(secx)(tan x) dx
2
= (secx)(tanx) - ∫(secx)(sec x - 1) dx
3
= (secx)(tanx) + ∫secx dx - ∫sec x dx
3
(2)(∫sec x dx) = (secx)(tanx) + ∫secx dx
3 1 1
∫sec x dx = (---)(secx)(tanx) + (---)(∫secx dx)
2 2
1 1
= (---)(secx)(tanx) + (---)(ln|secx + tanx|) + c 代入(1)得
2 2
5
∫sec x dx
1 3 3 3
= (---)(sec x)(tanx) + (---)(secx)(tanx) + (---)(ln|secx + tanx|) + c
4 8 8
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