[中學] 矛盾數學式

看板Math作者 (柊 四千)時間11年前 (2014/05/13 19:46), 11年前編輯推噓2(2推 0噓 14→)
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_ 這是我在八卦版回過的文章，希望能讓那些總認為 0.9 = 1 不成立的人接受這個等式。 ※ [本文轉錄自 Gossiping 看板 #1JQdH3un ] 作者: xavier13540 (柊 四千) 看板: Gossiping 標題: Re: [問卦] 有沒有0.999…=1的八卦 時間: Thu May 8 01:58:08 2014 ※ 引述《cmrafsts (喵喵)》之銘言： : ※ 引述《yuan1205 (rodriguez)》之銘言： : : 小弟鍵盤123來報到 : : 當沒有極限這個概念時 : : 印象中 高中老師是這樣教的 : : 如果 1=0.999循環 : : 那就表示　｜1-0.99999...｜=0 : : 絕對值表示距離的概念 : : |1-0.9|=0.1 離原點距離為0.1 : : |1-0.99|=0.01 離原點距離為0.01 : : ....... : : ....... : : ........依此類推 : : |1-0.99999....|=0.000000.......1 : : 因為 不能很武斷的說 那個0.0000.................1在哪個位子 : : 如果你說他在0.00000000001的話 : : 那麼五樓就會說他在0.000000000000000000000000000001 : : 不能很明確的指出 他與原點之間的距離是多少 : : 所以 必須認定他與原點距離之間為0 : : 如果要反駁上面那句話 就要很明確指出 那個距離點 在哪裡.. : : 於是...1=0.999999...... : : 不負責任解答 : : ... : 在數學中當我們用任何符號時都必須清楚的知道它的意義。 : 循環小數粗淺的說就是「一樣的數字寫無窮項」 : 實際上不能做到寫無窮項這件事，但是在實數上可以做到取極限 : 當我們宣稱「寫無窮項」的時候，實際上是寫出一個數列，求其極限 : 以這篇為範例，就是{0.9,0.99,0.999,...}的極限 : _ : 0.9 = lim 1-10^(-n) = 1 : n->infinity _ 這位已經講出了 0.9 的意思，這裡我獻醜一下，再講得更清楚一點。 ___ 首先，我們先定義一個循環小數所代表的值 。以 0.7122 為例，我們定義這個循環小數為 0.7 + 0.0122 + 0.0000122 + 0.0000000122 + ... ﹌ ﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌﹌ 非循環部分 循環部分 注意循環部分是由無窮多個數相加而得，我們定義無窮多個數相加的結果是 a + a + a + ... = lim ( a + a + a + ... + a ) 1 2 3 n→∞ 1 2 3 n 如果我令數列 a 前 n 項的和是 s ，就可以把這個結果寫成 lim s 。 n n→∞ n 那麼，什麼是 lim s 呢？或者是，當我們說 lim s = L 時，代表的是什麼意思？ n→∞ n n→∞ n 一個簡單的講法是：如果 n 夠大，s 就會夠靠近 L。問題是什麼是夠靠近？我們的定義 n 是，不管你希望 s 多靠近 L，我總是可以找到某一項 s ，使得 s , s , s , ... n N N+1 N+2 N+3 都滿足你的要求。或者說，對於你給出的任何誤差ε(＞0)，我都可以找到 N，使得 s 以 N 後的任何一項跟 L 的差都不超過ε。 _ _ 我接下來要講為什麼 0.9 = 1。根據剛剛寫出來的定義，0.9 就是 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ... n 所以 s = 0.999...9 = 1 - 0.1 n ╰──╯ n 個 _ n 我們之所以會說 0.9 = 1，是因為 s 跟 1 的差是 0.1 。如果你希望誤差在 0.0426 以 n 內，我只要挑 N = 1，就可以達成這個要求，因為 0.01, 0.001, 0.0001, ... 通通都小 -12 於 0.0426。如果你希望誤差在 8.85 ×10 以內，我只要挑 N = 11，就可以達成這個要 -12 -13 -12 求，因為 10 , 10 , ... 通通都小於 8.85 ×10 。所以，儘管 s 永遠到達不了 n _ 1，還是可以寫出 lim s = 1，也就是 0.9 = 1。 n→∞ n _ 希望我這篇可以幫助那些糾結於 0.999...9 永遠不等於 1 的人，理解為什麼 0.9 = 1。 -- 第01話 似乎在課堂上聽過的樣子 第02話 那真是太令人絕望了 第03話 已經沒什麼好期望了 第04話 被當、21都是存在的 第05話 怎麼可能會all pass 第06話 這考卷絕對有問題啊 第07話 你能面對真正的分數嗎 第08話 我，真是個笨蛋 第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的 第10話 再也不依靠考古題 第11話 最後留下的補考 第12話 我最愛的學分 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.196.111 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1399485507.A.E31.html
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以下開放dos崩潰
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看不懂啦，我寧可繼續我的乘以十證明法lol
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請問你是哪裡看不懂？我覺得我講得很清楚啊QQ。 希望你不是只是懶得看而已。
推
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112數學教授
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我只是個大一生。 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:04:53
噓
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以下開放dos用馬英九證明法
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推
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有趣!問題是0.99..終究還是沒辦法走到1,只能在條件下達成
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不要在PTT寫數學式子啦 有夠難看的
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樓上幹嘛噓噓呢:
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_ 補充一下，0.9 就是 1，不是什麼「趨近 1」。 _ 應該說，因為 s 趨近 1，所以 0.9 = 1。 n ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:08:45
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講不聽的啦，這0.99..梗玩了好幾年了總是有一群感覺派
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推
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如果有1兆個9 就不等1 但有無限多9 定義不出與1差別
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推
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呃好吧大致上能懂，可是我自己寫不出來
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推
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所以元po指的是在Sn趨近1時(條件下), 0.9 = 1?
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不是，這是循環小數的定義，不是「在...的情況下」。 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:11:40
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0.99..=1
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我想問一下 覺得0.999...不是 1的人
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你覺得0.9+0.09+0.009+...會是多少?
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一兆位數還是一千兆位數算無限大? 無限大不能定義
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應該是說 Sn 會趨近於 0.99... 又 Sn趨近於1 所以會等於
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我無窮等比級數 公比為0.1 首項0.9
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wiki上句話解析了這些人的想法
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覺得不是1的 你自己算一下 此無窮級數的答案
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我們當中的低級靈長類動物仍然在抗拒，說：0.999…
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其實不是表示一個數，而是表示一個過程。我們必須把那
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因為現在位數無窮多 不能定義與1的差異 就是沒差異=0
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個過程停止下來，來尋找那個數，這樣0.999… = 1的等式
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循環小數的定義用"趨近"(在Sn趨近1時),是否可說不是真等於
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_ s 永遠不會等於 1，但是我們是用 s 趨近的值來定義 0.9。 n n _ 注意我們的定義中，0.9 根本不需要在 0.9, 0.99, 0.999, ... 之中。
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便土崩瓦解了
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dostey 你自己算一下 此無窮等比級數的答案
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※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 02:19:17
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0.9+0.09+0.009+...=1
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推
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e14e8d你是只在無窮時(沒辦法明確指出數位個數),所以
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0.9+0.09+0.009+...=1?
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你該不會忘了 無窮等比級數的和怎麼算了吧?
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推
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趨近的定義還是在比大小 但無窮靠近 是比不出更小的
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0.999999...=0.9+0.09+0.009+0.0009+...=1
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以上看來,0.99...=1 確實是成立的,在人為定義下!
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還有 50 則推文
還有 5 段內文
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好，數學這東西就是你得先證明 f 不是超人，不會飛才行
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推
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若以前n項部分和來說，對n本身不就是離散嗎？
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數學也不接受'我感覺他不是超人'，而是要做最壞打算
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無論從任何角度，任何證據，都看不出他是超人，才可以
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推
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本來想先用連續切進去，可是要證明n->無窮f(n)的極限=f(n)
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也是問題..
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我再想想好了
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簡單極限定理而已... 不知道這有甚麼好討論那麼久的
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實在是不知道axiom有甚麼好討論的...
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我來講解一下為什麼不存在的東西不能假設。 舉例來說，我今天想算 1 + 2 + 4 + 8 + ... 的值。 設 x = 1 + 2 + 4 + 8 + ... 可得 x = 1 + 2 ( 1 + 2 + 4 + ... ) = 1 + 2x 也就有 x = -1，而這顯然是荒謬的。 _ _ 如果要用 10x = 9 + x 來算 0.9，必須先證明 0.9 存在。 因為 0.9, 0.99, 0.999, ... 是個遞增又有上界的數列，可知這個數列一定收斂。 一個遞增又有上界的數列一定收斂，可以從最小上界公理得到，有關這個公理可以參考這 篇： http://ppt.cc/Muzq ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/08/2014 05:24:00
推
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推正式解法(以上數學化就是正式解)，太多人看不懂了QW Q
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推
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這個問題會扯到實數完備性公理，不能理解0.999=1的人
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通常也會聽不懂實數的完備性，但這是實數的大前提
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推
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你一定要做得這麼精美嗎?lol
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厲害推
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推
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今天想想，極限證明跟是否它本身連續沒什麼關係吧
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有點傻到了= =
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推
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假設1為Z，0.99999...為B，可得Z>B
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推
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HuangJC的意思是說，無窮級數和是可以拿來證明
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但是無窮等比級數本身能用，是因為已經被證明可以用了
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才會說使用無窮等比級數是方法。這個方法的可用性證明就
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是像上面那樣。其他連續什麼的，好像是他想要表達方法和
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證明的差別，和0.999的證明沒什麼關係OW O
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ※ 轉錄者: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:46:50 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:48:53 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:49:47 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:52:50 ※ 編輯: xavier13540 (140.112.196.111), 05/13/2014 19:55:41
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05/13 20:21, , 106F
要 "用乘10來證明" 能用, 需要更多東西當基礎!
05/13 20:21, 106F
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現在99課綱高一教無窮循環小數化分數的時候
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因為數列的極限、等比數列公式都跑到高三下了,
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所以在高一時題目問到：0.73(bar)等於幾分之幾
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05/13 20:31, , 110F
有些參考書作者都是用什麼*10, *100, 拼拼湊湊而來
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05/13 20:31, , 111F
我懶得講很清楚, 有看過參考書的就知道
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05/13 20:31, , 112F
幹那根本在教垃圾
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05/13 20:33, , 113F
原po所以你現在還在念醫學系? 不如全職幹數學這行吧x
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05/13 20:33, , 114F
xd
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05/13 21:04, , 115F
7122....
05/13 21:04, 115F
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05/13 22:38, , 116F
歐居然這裡有人懂7122的梗 好感動(?
05/13 22:38, 116F
推
05/14 06:05, , 117F
7122...xd看到亂入
05/14 06:05, 117F
推
05/15 14:00, , 118F
還有一個...夾擠定理 0.9(有限)<=0.9(無限)<=1...
05/15 14:00, 118F
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05/15 14:01, , 119F
左邊的極限(1)<=0.9(無限)<=1..中間只剩1...
05/15 14:01, 119F
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01/02 15:46, 7年前 , 120F
歐居然這裡有人懂712 https://daxiv.com
01/02 15:46, 120F
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07/07 12:07, 6年前 , 121F
有些參考書作者都是用什 https://noxiv.com
07/07 12:07, 121F
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