Re: [中學] 96年新竹學科競賽
※ 引述《anous (阿文)》之銘言：
: 將所有介於0與1之間，且分母小於100的最簡分數由小到大排成一數列。
: (1) 設(a/b)和(c/d)是相鄰兩項且(a/b)<(c/d)，試證b+d>=100並求ad-bc之值。
: (2) 求數列中(7/96)的前後項
設 M,N 為正整數,
將所有最簡分數 p/q, 1≦p≦M, 1≦q≦N, 由小到大排列成數列 L(M,N)
若 a/b < c/d 為 L(M,N) 中相鄰兩項, 則
(1) bc-ad = 1
(2.1) 若 a/b < c/d < M/N, 則 b+d > N
(2.2) 若 M/N < a/b < c/d, 則 a+c > M
(3) 在 (a/b,c/d) 中的所有最簡分數,以 (a+c)/(b+d) 的分母最小
pf.
(1)
令 P(b,a),Q(d,c), 則 m(OP) = a/b, m(OQ) = c/d
因 a/b < c/d 為 L(M,N) 中相鄰兩項, 且均為最簡分數
故 ΔOPQ 內部及邊界均無格子點
由 Pick 定理, ΔOPQ = 0+3/2-1=(1/2)det[b,a;d,c]=(1/2)(bc-ad)
=> bc-ad=1
(2)
令 R=P+Q=(b+d,a+c) => m(OP)<m(OR)<m(OQ) => R 不在 [1,N]x[1,M]
=> b+d > N or a+c > M
(2.1) => b+d > N
(2.2) => a+c > M
(3) (只需 bc-ad=1 即可)
由 (1) 可知: OPRQ 內部無格子點
故在 ∠POQ 內的格子點均可寫成 xP+yQ, x,y 為非負整數
故在 (a/b,c/d) 之間的最簡分數為 (xa+yc)/(xb+yd), (x,y)=1
=> (a/b,c/d) 中分母最小的分數為 (a+c)/(b+d)
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原題 N=M=99
(1) ad-bc=-1, b+d > 99
(2) 令 x/y < 7/96 < u/v 為連續三項
(i) 7y-96x = 1 => x = -3+7t
y = -41+96t => t=1 => x/y = 4/55
(ii) 96u-7v = 1 => u = 3+7s
v = 41+96s => s=0 => u/v=3/41
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