Re: [分析] 變分問題
※ 引述《chopriabin ()》之銘言：
: ※ 引述《chopriabin ()》之銘言：
: : 標題: [分析] 變分問題
: : 時間: Sat Mar 15 01:07:54 2014
: : Does this PDE div( \frac{grad u}{u} )+a\, \Delta u+b\,u=0 (*)
: : have a variational structure? Here a and b are constants.
: : In other words, the question I am asking is:
: : Does there exist a functional such that
: : the corresponding Euler–Lagrange equation is (*)?
: : --
: : ◆ From: 1.34.191.2
: : → JASS0213 :似乎可以硬寫出來。原方程式有\Delta u 項、 03/17 05:18
: : → JASS0213 :|\nabla u|^2 項、以及u^2三項。假設你的functional 03/17 05:19
: : → JASS0213 :由f(u)|\nabla u|^2 + g(u)積分而成，算出general 03/17 05:20
: : → JASS0213 :的 Euler-Lagrange eq. 比較係數可以得到一個關於 03/17 05:21
: : → JASS0213 :f 的一次ODE。解出 f 後可以得到這兩個eq.的比例函數 03/17 05:23
: : → JASS0213 :然後你就可以把 g 也解出來 03/17 05:24
: 謝謝你的回應！：）
: 原方程
: div( \frac{grad u}{u} )+a\, \Delta u+b\,u=0
: 有三項。其中 \Delta u (即lLaplace u) 與 u 對應的functional
: 是well-known. 即 \Delta u是 \int |grad|^2, 而 u 是 \int u^2.
: 換言之，問題就出在這項
: div( \frac{grad u}{u} )=-u^{-1} \Delta u+u^{-2} |grad u|^2
: 我原先是猜這項對應的functional 是 \int u^{-1} |grad u|^2
: 不過去算這個functional 的Euler-Lagrange eqn 結果並非
: div( \frac{grad u}{u} )=0. 為此感到納悶，
: 因為我是根據這本PDE有名的教科書
: Evans: PDEs chapter 8, page 434 eqn(9)
: 得到對應的functional 該是 \int u^{-1} |grad u|^2 (我弄錯了嗎？)
: 然後我如你建議，試了 \int f(u) |grad u|^2+g(u)
: 不過經過計算，我發現不存在f and g 使得這個functional 的
: Euler-Lagrange eqn是div( \frac{grad u}{u} )=0.
我們只要得到滿足 (*) 的結果，所以可以乘上某個非0的
函數。這裡我寫下細節：
E(u) = \int f(u) |grad u|^2+g(u)
的 Euler-Lagrange equation 為 -2f(u)\Delta u -f'(u)|\nabla u|^2 +g'(u)=0.
而(*) 整理後為 (u^{-1}+a)\Delta u -u^{-2}|\nabla u|^2 +bu^2=0.
所以我們的 f 要滿足
f'=(\frac{-2}{u+au^2})f
解出 f 然後代入
g'=bu^4 f'
解g。
: 我甚至也在想，如果functional 積分裡面的函數 如果是implicit function
: 這樣可不可能達到我們的目的？
: 你還有什麼idea可以試試的嗎
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◆ From: 140.247.0.117
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