Re: [中學] AMC10A的問題
※ 引述《jeromeshih (以謹慎態度來面對問題)》之銘言：
: 2.已知5^867(5的867次方)是介於2^2013與2^2014之間。試問有多少組整數數對(m,n)
: 滿足
: 1<=m<=2012,且 5^n<2^m<2^(m+2)<5^(n+1)?
: (A) 278 (B) 279 (C) 280 (D) 281 (E) 282
: 題目:http://ppt.cc/dZ6C
: 目前想法--
: a.已知(7,3)是一組解,依序(7*2,3*2)...(7*9,3*9),接下來就不滿足條件
: b.透過對數可得出 0.699*n<0.301*m 和
: 0.301*(m+2)<(n+1)*0.699 => 0.301m<0.699n+0.078
: 若把m設為y軸,n設為x軸
: 則解會是 在兩條平行線 0.301m=0.699n 和 0.301m=0.699n+0.078之間的格子點
: 但目前還無想法要如何對格子點做出估計
: 謝謝大家
首先，因為 2^2 < 5 < 2^3 所以，在5^n ~ 5^(n+1)之間，至多只有3個2的幂次
(不妨假定存在 5^(n+1) > 2^(m+3) > 2^m > 5^n
則 2^m * 5 > 5^n * 5 = 5^(n+1) > 2^(m+3) =2^m * 8 矛盾 )
同理，因為 5^0 < 2^1 < 2^2 < 5^1，在5^n ~ 5^(n+1)之間，至少有2個2的幂次
因此，考慮pair (5^0,5^1) (5^1,5^2) ... (5^866,5^867)
假設每組Pair範圍內，有兩個2的幂次的數量為x個
三個2的幂次的數量為y個
則 x+y = 867 (組數)
2x+3y = 2013 ( 2^2013 < 5^867 < 2^2014)
解出y=279
即為所求
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討論串 (同標題文章)
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