Re: [中學] 用不用數學歸納法？
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問題出在於，A ... A 這樣的表示法，並沒有真正的定義。
首先標準的矩陣乘法是二元運算，我們只知道 A * A 什麼意思，
但是 A * A * A 並不清楚，它可以是 A * (A * A) 或是 (A * A) * A
當然我們知道 associativity 所以這兩種表示法都代表一樣的矩陣，
但我們仍然得選定一個表示法，例如說 A^3 = A * (A * A)。
接下來，A * ... * A 我們理應寫成
A * (A * (A * ... (A * I))...) --- (*)
那中間這串 ... 什麼意思呢？數學的語言是邏輯，得把 "..." 用邏輯語句寫清楚，
不然是「未定義」的，雖然我們知道什麼意思 : )
欲定義 A^n 代表給一個 方陣 A 跟自然數 n （不考慮一般的情況），
對應到另一個方陣 A'，也就是一個函數從
f : M(n, n) x N -> M(n, n)
其中 M(n, n) 代表固定某個 field 上所有 n x n 的方陣集合。
根據歸納法，我們可以用遞歸的形式寫自然數的函數：
f : (A, 0) = I
f : (A, (n+1)) = A * f(A, n)。
最後得到的定義 A^n 定義出來的是 (*) ，因為我們知道 associativity
可以推廣一般化，例如 n = 4 的時候以下這五個矩陣都一樣：
(A * A) * (A * A) = A * (A * (A * A)) = ((A * A) * A) * A) =
A * ((A * A) * A) = (A * (A * A)) * A
一樣用歸納法證明任一情況下不管怎麼寫都一樣。
所以我們可以濫用符號(by abuse of notation)，直接將 f(A, n) 記成 A ... A。
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