Re: [中學] 用不用數學歸納法？

看板Math作者recorriendo (孟新)時間10年前 (2014/02/09 14:28)推噓5(5推 0噓 18→)

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※ 引述《ma4wanderer (師大之狼)》之銘言： : 有時候數學歸納法會很好用 : 但有時候卻覺得有點多餘？ : 印象最深的例子是 : 若 n*n 方陣A=P'BP P'是P的反矩陣 : 試證任意正整數n A^n=P'(B^n)P : 　　　 ( 　 n個　 ) : 高中的時候總有人會寫(P'BP)(P'BP)...(P'BP)=消...=P'(B^n)P : 然後老師就會嗆白癡給你1分叫你滾蛋別讓我在地表上看到你 : 我認為數學歸納法的時機應該是在給定某些公式的時候， : 讓我們不必再回頭從無到有生出公式來，同時驗證這個公式， : 有時候也會是一個「比較好」的證明、「較容易驗證給別人看」的方式。 : 例如: : sum i(from 1 to n)=(n+1)(n)/2 : n*n方陣A B，detAdetB=detAB : 每次看到高中老師總是堅持用數學歸納法證明最上面那題，總覺得有那麼點奇怪。 : 更不用說有些題目也會限制在正整數，可是數學歸納法沒啥幫助的題目 : 例如log_n[n+1] > log_(n+1)[n+2] : 回到最上面 : 題目說好了for all n in N，做法是take arbitrary n in N來證明為什麼不行？ : 害我一直想不透失眠了好幾年，每天半夜在學校鬼混被當成變態;( 從根本上來講數學歸納法是建構在遞迴式定義上的要證明某遞迴定義滿足某條件就必須用歸納法才算符合數學的嚴密性莫說你舉的例子你如果去翻數學基礎(集合論)的書會發現竟然連自然數加法交換率 m+n=n+m 都要用數學歸納法來證!! 這又是為何呢那是因為"加"這個函數是用(+1)這個函數遞迴定義而成的也就是說定義 m+0=m, m+(n+1)=(m+n)+1 以上兩個關係式即定義了"加"這個函數當要證明"加"滿足交換率就得證明你當初定義"加"用的兩個關係式滿足交換率亦即證明m+0=0+m, m+(n+1)=(n+1)+m 這就是數學歸納法了矩陣的次方也是由遞迴關係式定義的 (A^0=I, A^(n+1)=A^n*A) 在數學上A^n=AA...A只是書寫方便而已並非真正嚴格的表示所以說要證明對於所有n A^n如何如何就必須回到原本的定義來證明這是歸納法為何必要的原因 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 205.175.97.136

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xcycl

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※ 編輯: recorriendo 來自: 205.175.97.136 (02/09 15:05)

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wohtp

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wohtp

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