[其他] 次方和的神奇數組?

看板Math作者jurian0101 (Hysterisis)時間10年前 (2014/02/09 18:29)推噓4(4推 0噓 10→)

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Facebook粉絲專頁我超愛科學的啦今天分享的一張照片有以下等式 i i i i i i i i i i i i 2 + 7 + 8 + 18 + 19 + 24 = 3 + 4 + 12 + 14 + 22 + 23 對 i = 1,2,3,4,5 次方時，等式成立 *附上來源以示尊重，不喜也不用點 https://www.facebook.com/photo.php?fbid=614924785248125 回應不外乎「啊，多喜爹？」「沒用，有趣而已」「這有什麼用」「無聊」我來解析一下秘密XD 同時，大家可以試著想，有沒有可能有兩組相異，各有n個自然數的數組，恰好更上一層樓，滿足i=1~6 手邊沒工具暴搜，我不知道 = = = = = = = 防雷線 = = = = = = = 想到根與係數關係式是第一步左邊／右邊的六個數的一到五次方和相等，代表以左六數與右六數為根的六次方程式 (x-2)(x-7)(x-8)(x-18)(x-19)(x-24) 和 (x-3)(x-4)(x-12)(x-14)(x-22)(x-23) 除了常數項相差某個自然數以外，所有係數相等。用Wolfram alpha驗證看看 x^6-78 x^5+2353 x^4-34476 x^3+252148 x^2-843648 x+919296 和 x^6-78 x^5+2353 x^4-34476 x^3+252148 x^2-843648 x+1020096 畫成函數圖形 http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5B%7B%28x-2%29%28x-7%29%28x-8%29%28x-18%29%28x-19%29%28x-24%29%2C%28x-3%29%28x-4%29%28x-12%29%28x-14%29%28x-22%29%28x-23%29%7D%2C+%7Bx%2C0%2C25%7D%5D 短: http://goo.gl/rsK3rI 直觀意義是，有個六個根都是自然數的函數圖形，向上移動某個自然數單位，結果新的六個根還是全是自然數。只想到這裡只會繼續說「WOW，哪ㄟ按捏」是不夠的觀察：其實這函數圖形根本是對稱，左右兩組數也是對於13對稱所以，Step2 函數圖形不只可以上下平移，也能左右平移 {2, 7, 8, 18, 19, 24} -> {-11, -6, -5, 5, 6, 11} {3, 4, 12, 14, 22, 23} -> {-10, -9, -1, 1, 9, 10} 所以新數組的 1~5 次方和還是會彼此相等其實因為先前觀察到的對稱性，奇數次方和的相等顯然，因為是零! 於是剩下只要檢查 5^2 + 6^2 + 11^2 = 1^2 + 9^2 +10^2 和 6^4 + 6^4 + 11^4 = 1^4 + 9^4 +10^4 所以原本「滿足五個式子的兩組六個數」其實是「滿足兩個式子的兩組三個數」的偽裝到此，條件已經簡化得，感覺上已經可以開始暴力搜索了是否有 a^2 + b^2 + c^2 = A^2 + B^2 + C^2 a^4 + b^4 + c^4 = A^4 + B^4 + C^4 a^6 + b^6 + c^6 = A^6 + B^6 + C^6 ? 若找不到則加 d 和 D 進去。至此，先前問的問題「存不存在恰好i=1~6成立的兩組n個數」只不過因為若n=7, 七次方程圖形沒法用對稱性（0明顯不能用，為什麼？）我不知道答案是有或沒有(逃)，請高手補充 <(＿＿)> = = = = = = = =頁末 = = = = = = = -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.164.93.81

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ntnusliver

02/09 18:43, , 1^F

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3Q, 沒驗算，知錯了 ※ 編輯: jurian0101 來自: 218.164.93.81 (02/09 19:28)

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cmrafsts

02/09 21:19, , 2^F

02/09 21:19, 2^F

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cmrafsts

02/09 21:20, , 3^F