[中學] 矩陣的線性變換 det=0時

看板Math作者 (派)時間12年前 (2014/01/27 09:46), 編輯推噓1(1推 0噓 36→)
留言37則, 8人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
在看高中課本時， 會講到當A矩陣的det(A)不為0時， 會把一條直線轉到另一條直線。 可是沒有特別討論到det(A)=0時的狀況。 看了一下參考書中有稍微提到， 如果det(A)=0， 那除了直線以外還有可能變成一個點。 我好奇的是 det(A)=0， 總共會出現哪些種狀況， 要怎麼一般性地討論呢？ (比方什麼狀況是直線、什麼狀況是一個點) 請教各位前輩了！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.169.164.169
推
01/27 10:06, , 1F
這就是線性代數裡eigenspace, eigenvector的觀念
01/27 10:06, 1F
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01/27 10:06, , 2F
想深入了解的話去找本基礎的線性代數來念吧
01/27 10:06, 2F
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01/27 10:07, , 3F
如果是平面向量問題, 線性變換矩陣可逆時, 直線變換
01/27 10:07, 3F
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01/27 10:09, , 4F
後仍是直線. 該矩陣不可逆時, 除了 0 矩陣之外, 直線
01/27 10:09, 4F
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01/27 10:10, , 5F
經變換後仍是直線的情形是該直線某個特定方向. 例如
01/27 10:10, 5F
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01/27 10:13, , 6F
A = [ 2 3 ; 4 6 ] (第一列 2, 3; 第二列 4, 6), 則
01/27 10:13, 6F
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01/27 10:14, , 7F
所有 t(3i-2j) 形的向量變換後仍是 s(3i-2j) 形, 只
01/27 10:14, 7F
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01/27 10:15, , 8F
是乘數 t 變成 s (事實上 s = 8t). 這直線也就是 1F
01/27 10:15, 8F
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01/27 10:16, , 9F
說的, 對應非零 eigenvalue (本例為8) 的 eigenspace
01/27 10:16, 9F
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01/27 10:21, , 10F
我似乎錯了!
01/27 10:21, 10F
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01/27 10:24, , 11F
設 A 的 eigenvectors 是 u 對應 0, v 對應非 λ≠0
01/27 10:24, 11F
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01/27 10:25, , 12F
直線是通過 au+bv 與 cu+dv 兩點, 上面的點一般式是
01/27 10:25, 12F
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01/27 10:25, , 13F
p = t(au+bv)+(1-t)(cu+dv). 則變換後是
01/27 10:25, 13F
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01/27 10:28, , 14F
Ap = tb(Av)+(1-t)d(Av) = [d+t(b-d)]λv.
01/27 10:28, 14F
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01/27 10:28, , 15F
當 b≠d 時, 結果仍是一直線; 當 b=d 時,結果是一點.
01/27 10:28, 15F
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01/27 11:33, , 16F
那可以這樣說嗎？
01/27 11:33, 16F
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01/27 11:34, , 17F
當det不為零時，則直線經線性變換後仍為直線。
01/27 11:34, 17F
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01/27 11:34, , 18F
det=0時，則直線經線性變換後為一個點
01/27 11:34, 18F
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01/27 12:03, , 19F
前面對 後面不見得
01/27 12:03, 19F
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01/27 12:14, , 20F
怎麼說呢？
01/27 12:14, 20F
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01/27 13:08, , 21F
det(A)=0 => A^(-1)不存在 => 變換不可逆
01/27 13:08, 21F
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01/27 13:09, , 22F
多點對一點時不可逆
01/27 13:09, 22F
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01/27 13:09, , 23F
只要是多點對一點的情況 都可能是A變換的可能性
01/27 13:09, 23F
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01/27 13:12, , 24F
那有沒有高中程度可以聽得懂得推導呢？
01/27 13:12, 24F
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01/27 13:12, , 25F
補充:因為一對多不算是函數
01/27 13:12, 25F
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01/27 13:13, , 26F
謝謝y大 可是有沒有高中可以看得懂的說法呢
01/27 13:13, 26F
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01/27 18:52, , 27F
其實可以想說 detA = 0的時候就是前後兩個空間
01/27 18:52, 27F
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01/27 18:52, , 28F
"不一樣大"，所以維度會少
01/27 18:52, 28F
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01/27 18:53, , 29F
啊XD那個"所以"只是講話習慣，沒有要代表因果關係
01/27 18:53, 29F
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01/28 03:37, , 30F
謝謝各位大大指教！！
01/28 03:37, 30F
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01/29 01:12, , 31F
從 R^2 到 R^2 的線性變換, 如果變換矩陣 A 的行列式
01/29 01:12, 31F
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01/29 01:13, , 32F
是 0, 則整個平面是映到一條通過原點的直線.
01/29 01:13, 32F
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01/29 01:15, , 33F
修正: A 是 0 矩陣時除外, 此時所有點都映至原點.
01/29 01:15, 33F
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01/29 01:16, , 34F
平面上一直線經變換後或者是一點(如果此直線垂直上述
01/29 01:16, 34F
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01/29 01:16, , 35F
變換後的值域), 或者與值域重疊, 也就是仍為一直線.
01/29 01:16, 35F
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01/02 15:40, 7年前 , 36F
直線是通過 au+bv https://noxiv.com
01/02 15:40, 36F
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07/07 11:50, 6年前 , 37F
謝謝各位大大指教！！ https://moxox.com
07/07 11:50, 37F
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