[代數] Lie group 是 有限群 !?

看板Math作者 (日可)時間12年前 (2013/12/21 03:05), 編輯推噓5(5推 0噓 38→)
留言43則, 10人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
首先很抱歉我不是主修數學的，所以我不會使用數學式嚴謹的描述 希望不會造成困擾 我在維基百科看到，Lie group 出現在 finite simple group 的分類中 http://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups 這令我相當疑惑 因為就我的認知，finite group 指的應該是元素個數有限的 group 但像是 表達三維空間旋轉對稱 SO(3) 之類的 Lie group ， 它的元素怎麼看都不像是有限的 我原本以為是維基百科虎爛我，但我後來又在介紹群論的書 Steven Roman, "Fundamentals of Group Theory" 之中 看到類似的敘述 下面是 Steven Roman 課本中的敘述 (原文照貼) =========================================================================== Up to isomorphism, a finite simple group is one of the following: 1) A cyclic group C_p of prime order. 2) An alternating group A_n for n >= 5. 3) A classical linear group. 4) An exceptional or twisted group of Lie type. 5) A sporadic simple group (these include Mathieu groups, Janko groups, Conway groups, Fischer groups, Monster groups and more). =========================================================================== 這裡面說的 "classical linear group" 應該就是 classical Lie groups (吧?) 我也去查過了 finite group 和 finite set 的定義 除了正式定義比較嚴謹之外，"finite" 的定義和我想的相去不遠 不知道我是哪裡弄錯了？ 雖然我不是主修數學的，不過大概知道 SO(n), SU(n) 不知道有沒有人願意解答我的疑惑？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.114.123.26 ※ 編輯: SolarKa6626 來自: 140.114.123.26 (12/21 03:08)
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12/21 03:53, , 1F
那...你認識finite field嗎？至少要知道Z_2才能繼續
12/21 03:53, 1F
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12/21 03:54, , 2F
談這個東西。
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12/21 03:55, , 3F
GL(n,Z_2)就都是finite group。
12/21 03:55, 3F
Z_2 就是 Z/2Z 嗎？ 我的 field theory 知識都來自科普書「質數魔力」XD 可以舉個例子嗎？例如說 GL(n,Z_2) 的矩陣長什麼樣子
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12/21 04:08, , 4F
可是GL(n, Z_2)是Lie Group嗎？
12/21 04:08, 4F
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12/21 04:12, , 5F
我也想知道答案。因為我所知的Lie group是
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12/21 04:13, , 6F
differentiable manifold。要講微分就要有open
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12/21 04:14, , 7F
neighborhood，然後好像就非要有無限多點不可？
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12/21 04:18, , 8F
..回頭想了一下，GL(1, Z_2) = Z_2 就不是Lie group
12/21 04:18, 8F
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12/21 04:18, , 9F
了啊！我們講的真的是同一個東西嗎？
12/21 04:18, 9F
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12/21 04:35, , 10F
GL(n,Z_2)上可以定Grassmannian manifold啊
12/21 04:35, 10F
推
12/21 05:18, , 11F
你可以把原本作用在 R^n 的改作用在 F^n 上
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12/21 05:20, , 12F
整個代數形式維持不變，也可在 F^n 上做 Lie algebra
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12/21 05:22, , 13F
就只差無法像在連續群上做微分，也沒有 tangent 概念
12/21 05:22, 13F
推
12/21 05:25, , 14F
也沒有測地線，exponential map等等連續群才有的概念
12/21 05:25, 14F
推
12/21 12:57, , 15F
說真的，其實所有finite gp.都是0-dim'l Lie gp.，
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12/21 12:57, , 16F
但是這兒的重點不是這個。wiki上說的是classical gp.
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12/21 12:59, , 17F
後面也有用"namely"註解說就是GL,SL,PGL,PSL,O,U,...
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等等這些group。
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12/21 16:55, , 19F
m大：Lie group是 "differentiable manifold"
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12/21 16:56, , 20F
不能微分就不叫Lie group了...
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12/21 17:00, , 21F
V大：同上，0-dim就說不上什麼可微了
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12/21 18:49, , 22F
明顯是原po誤會了，wiki上寫的是 simple group of
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12/21 18:49, , 23F
Lie type, 和 Lie group 是兩回事
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但是它下面寫的 classical Lie groups 很明顯就是我說的 SO(n), SU(n)
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12/21 20:03, , 24F
w大，我認為不是說不上什麼可微，而是實際上就是可微
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12/21 20:04, , 25F
就像定義在離散集合上的函數必定連續(當然對應域是個
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12/21 20:04, , 26F
拓樸空間)。
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感謝各位回答
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12/21 20:51, , 27F
我同意連續，看不出來可微分。能定義微分給我看嗎？
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12/21 21:36, , 28F
那兒寫的classical Lie groups還真的不是你想像中的
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12/21 21:37, , 29F
那些。有看到"namely"後面那一串敘述的最後寫著
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12/21 21:38, , 30F
"over a finite field"嗎？
12/21 21:38, 30F
你好 可以順便為我解釋一下 "over a finite field" 代表什麼意思嗎？ 感激
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12/21 21:41, , 31F
我的想法是用極限來定義微分，所以就會出現"for all
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12/21 21:42, , 32F
x closed enough to the specific point..."這種敘述
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12/21 21:48, , 33F
因為點a的附近一個x都沒有，所以前提被滿足，所以
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12/21 21:49, , 34F
微分後的值是什麼都對，然後說他可以微分。
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12/21 22:03, , 35F
微分是 [f(x + a) - f(x)] / [(x+a) - x] 這樣的東西
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12/21 22:04, , 36F
分母不存在你要怎麼取極限？
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※ 編輯: SolarKa6626 來自: 140.114.123.26 (12/21 23:49)
推
12/22 00:00, , 37F
你矩陣裡面塞的東西改成 finite field 中的元素
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12/22 02:20, , 38F
樓上講的是"over a finite field"吧？
12/22 02:20, 38F
推
12/22 06:58, , 39F
12/22 06:58, 39F
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12/22 06:58, , 40F
12/22 06:58, 40F
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12/23 08:46, , 41F
感謝大家 (￣y▽￣)╭ 我大概懂了七八成(?)
12/23 08:46, 41F
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01/02 15:38, 7年前 , 42F
樓上講的是"over https://noxiv.com
01/02 15:38, 42F
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07/07 11:44, 6年前 , 43F
//noxiv.com http://yofuk.com
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