Re: [分析] Σ-∞^n / n*n!
※ 引述《kenidensency (凌琪)》之銘言：
: 試求下列極限值。
: x^n
: lim Σ ────
: x->-∞ n in N n * n!
簡單計算後可得
∞ x^n x e^t - 1 -x 1 - e^(-t)
Σ ----- = ∫ -------- dt = - ∫ ------------ dt
n=1 n*n! 0 t 0 t
令y=-x, 做分部積分:
y 1 - e^(-t) ｜y y
∫ ----------- dt = (1-e^(-t))lnt ｜ - ∫ lnt*e^(-t) dt
0 t ｜0 0
y
= (1-e^(-y))lny - ∫lnt*e^(-t) dt
0
當y>>1時, e^(-y)→0, (1-e^(-y))lny → lny .
∞
另外 ∫lnt*e^(-t) dt = -γ, γ為Euler constant.
0
所以所求
∞ x^n
lim Σ ----- = lim -ln(-x) - γ = -∞ -γ
x→-∞ n=1 n*n! x→-∞
發散啦
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※ 編輯: G41271 來自: 114.26.74.242 (12/10 17:30)
推
12/27 08:22, , 1F
12/27 08:22, 1F
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