Re: [機統] 關於條件期望值和條件變異數
claim : Var(Y)=Var(E(Y|X))+E(Var(Y|X))
part1 part2
proof the claim:
part1: 令E(Y|X)=m(x)
Var(m(x))=E(m(x)^2)-[E(m(x))]^2=E(m(x)^2)-[EE(Y|X)]^2=E(m(x)^2)-E(Y)^2
part2:
Var(Y|X)=E(Y^2|X)-(E(Y|X))^2
so, E(Var(Y|X))=EE(Y^2|X)-E(E(Y|X)^2)=E(Y^2)-E(m(x)^2)
part1+part2 得
Var(E(Y|X))+E(Var(Y|X))=E(m(x)^2)-E(Y)^2+E(Y^2)-E(m(x)^2)=Var(Y)
得證
Now, Var(Y-E(Y|X))=Var(E[Y-E(Y|X)]|X)+E(Var[Y-E(Y|X)]|X)
part1 part2
part1:
Var(E(Y-E(Y|X))|X)=Var([E(Y)-EE(Y|X)]|X)=Var(E(Y)-E(Y) |X) =0
part2:
E([Var(Y-E(Y|X)]|X)=E(Var(Y|X)) (給定X條件下 E(Y|X)為一常數 變異數內常數可刪去)
part1+part2得
Var(Y-E(Y|X))=E(Var(Y|X))
得証
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◆ From: 61.230.99.9
推
12/02 00:03, , 1F
12/02 00:03, 1F
討論串 (同標題文章)
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：