Re: [幾何] 一題三角函數的難題
※ 引述《wesley0513 (衛斯理)》之銘言：
: 三角形ABC為銳角三角形
: P為A在BC邊上的垂足
: Q為B在CA邊上的垂足
: R為C在AB邊上的垂足
: 若線段PQ+QR+RP=1
: 求AP*sinA=?
: 請各位高手幫忙了!謝謝
假設H為垂心
首先，ARHQ四點共圓 => RQ/sin(180'-A) = AH
=> RQ=AH*sinA ----(1)
同理， PQ = CH*sinC ----(2)
RP = BH*sinB ----(3)
由(2) PQ = CH*sinC = CH*sin(A+B)
= CH*(sinAcosB+cosAsinB)
= (CH*cosB)sinA + (CH*sinB)cosA [角B=角CHP]
= HP*sinA + CP*cosA -----(4)
由(3) RP = BH*sinB = BH*sin(A+C)
= BH*(sinAcosC+cosAsinC)
= (BH*cosC)sinA + (BH*sinC)cosA [角C=角BHP]
= HP*sinA + BP*cosA -----(5)
(1) + (4) + (5)
1 = RQ + PQ + RP = 2(HP*sinA) + AH*sinA + BC*cosA
{又 AH = BC*sinC*cotA*cscC => BC*cosA = AHsinA}
故 1 = 2(HP*sinA) + 2(AH*sinA)
= 2(AP*sinA)
故 AP*sinA = 1/2
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※ 編輯: jimmy451399 來自: 118.171.75.107 (11/06 18:05)
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